Intuitiva explicación de $L^2$-norma

Question

Tengo que jugar mucho con el $L^2$-norma define como $\|w\|=\sqrt{\int_a^b <f,f>}$. Sin embargo, no entiendo la interpretación de esa norma. Sabemos que la norma euclídea medir la longitud de un vector en el espacio euclidiano, pero lo que hace el $L^2$-norma? Hay alguien que me pudiera dar una intuitiva (incluso un gráfico, si es posible) la explicación de esa norma.

Answer 1

OK vamos a ver si esto te ayuda. Suponga que tiene dos funciones $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$. Si alguien te pregunta ¿cuál es la distancia entre el $f(x)$ $g(x)$ es fácil que sería decir $|f(x)-g(x)|$. Pero si me preguntan cuál es la distancia entre el$f$$g$, esta pregunta es una especie de absurdo. Pero puedo preguntar ¿cuál es la distancia entre el $f$ $g$ en promedio? Entonces es $$ \dfrac{1}{b}\int_a^b |f(x)-g(x)|dx=\dfrac{||f-g||_1}{b} $$ que le da el $L^1$-norma. Pero esta es sólo una de las muchas maneras en que usted puede hacer el cálculo: de Otra manera estarían relacionadas con la integral $$ \left[\int_a^b|f(x)-g(x)|^p dx\right)^{1/p}:=||f-g||_{p} $$ cual es el $L^p$-norma en general.

Vamos a investigar la norma de $f(x)=x^n$ $[0,1]$ diferentes $L_p$ normas. Le sugiero que dibujar los gráficos de $x^{p}$ para un par de $p$ a ver cómo la mayor $p$ $x^{p}$ planas cerca del origen y cómo la integral por tanto favorece la vecindad de $x=1$ más y más como $p$ se vuelve más grande. $$ ||x||_p=\left[\int_0^1 x^{p}dx\right)^{1/p}=\frac{1}{p^{1/p}} $$ El $L^p$ norma es menor que $L^m$ norma si $m>p$ debido a que el comportamiento de cerca de más puntos es minimizado en $m$ en comparación a $p$. Así que dependiendo de lo que usted desea capturar en su promedio y cómo desea definir "la distancia" entre las funciones, se utilizan diferentes $L^p$ normas.

Esto también motiva el por qué de la $L^\infty$ norma no es sino la esencial supremum de $f$; es decir, que el filtro de todo lo que fuera distinto de los valores más altos de $f(x)$ como dejas $p\to \infty$.

Answer 2

Hay varias buenas respuestas aquí, aceptó. Sin embargo, me sorprende no ver el $L^2$ norma describe como el infinito dimensional analógica de la distancia Euclídea.

En el plano, la longitud del vector $(x,y)$ - es decir, la distancia entre el $(x,y)$ y el origen es $\sqrt{x^2 + y^2}$. En $n$-espacio es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes.

Ahora piensa en una función como un vector con una infinidad de componentes (su valor en cada punto del dominio) y sustituir la suma por la integración para obtener el $L^2$ norma de una función.

Finalmente, tachuela en el final de la última frase de @levap 's respuesta:

... el $L^2$ norma tiene la ventaja de que se trata de un interior producto y así, todas las técnicas del producto interior espacios (ortogonales proyecciones, etc) puede ser aplicada cuando hacemos uso de la $L^2$ norma.

Answer 3

Si usted tiene algo de física fondo, a continuación, $L^2$ norma a menudo puede ser interpretado como la "energía" de las funciones de onda. Interpretación física de la Norma L1 y L2 Norma

En la física cuántica, la $L^2$ norma representa la probabilidad de detección de un determinado estado puro importe muchos estados mixtos.

En estadística, la minimización de la $L^2$ norma de la diferencia entre los 2 funciones es equivalente a un proceso llamado "método de cuadrados mínimos". Las diferencias entre la L1-norma y la norma L2

En matemáticas, nos prefieren por encima de muchos otros posibles norma, ya que induce a los Espacios de Hilbert de la estructura de las funciones de los espacios. Hay muchos hermosos teoría disponible una vez que entramos en la $L^2$ norma. Me gustaría decir que usted va a ganar la intuición a lo largo de la manera de estudiar. No parece por lo que preferimos ahora, pero, finalmente, verá.

Answer 4

No estoy seguro de lo intuitiva que es esto, pero la norma $||f||_{L^2([a,b])}$ de una función integrable definida en $[a,b]$ es la raíz cuadrada del "área bajo la gráfica" de $|f|^2$ en el intervalo de $[a,b]$. Por ejemplo, si $f \equiv C$ es una función constante, entonces el área bajo la gráfica de $f^2 = C^2$ es el área de un rectángulo dado por $(b - a)C^2$$||f||_{L^2([a,b])} = |C| \sqrt{b - a}$.

Hay varias otras normas se puede definir para las funciones, la más intuitiva de lo que es, probablemente, el $L^1$ norma dada por $||f||_{L^1([a,b])} = \int_a^b |f(x)| \, dx$ que simplemente te da el área bajo la gráfica de $|f|$. A diferencia de la $L^1$ norma, el $L^2$ norma tiene la ventaja de que se trata de un producto interior y así, todas las técnicas del producto interior espacios (ortogonales proyecciones, etc) puede ser aplicada cuando hacemos uso de la $L^2$ norma.