Torsión subgrupo de $SL(n,\mathbb Z)$

Question

Deje $G$ subgrupo de $SL(n,Z)$ tal que para cualquier $g\in G$ existe entero $m\geq1$ $g^m=1$.

Demostrar que no existe $N\geq1$ tal que para cualquier $g\in G$ , $g^N=1$

Sé $m$-ésima raíz de la unidad es el valor propio de los elementos, cualquier elemento es diagonalizable la matriz más compleja número, pero no sé cómo los hechos? alguna sugerencia?

Answer 1

Creo que ya lo tengo (pero mira esto, no será la primera vez que me producen un mal la prueba!).

• Primer paso: Vamos a $\mathcal P$ el conjunto de monic polinomios de grado $n$, con coeficientes de mentir en $\mathbb Z$, y las raíces en el círculo unitario del plano complejo. A continuación, $\mathcal P$ es finito. De hecho, fix $0\leq k\leq n-1$ y para $P\in\mathcal P$, $P=X^n+\sum_{j=0}^{n-1}a_jX^j$, con raíces $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, tenemos $$a_j=(-1)^j\sum_{J\subset\{1,\ldots,n\},|J|=j}\prod_{k\in J}\lambda_k$$ por lo $|a_j|\leq \binom nj$ y desde $a_j$ es un entero que puede tomar sólo un número finito de valores.
• Segundo paso: Para cada una de las $g\in G$, el polinomio característico de $g$, $p_g$, es un elemento de $\mathcal P$, por lo que el conjunto de todos los valores propios de los elementos de $G$ es finito, y está contenida en $\bigcup_{n\geq 1}\mathbb U_n$ donde $\mathbb U_n$ es el conjuntos de $n$-th raíces de la unidad. Así en el hecho de que los valores propios son los que figuran en $\bigcup_{j=1}^{n_0}\mathbb U_{k_j}$ donde $k_j$ son números naturales $\geq 1$. Tomando $N:=\operatorname{ppcm}(k_j,1\leq j\leq n_0)$, obtenemos el resultado deseado.

Answer 2

Lema A2 en el apéndice de Swinnerton-Dyer la "Breve guía a la Teoría Algebraica de números" que podría ayudar a resolver tu pregunta. Estoy realmente lo siento por dar esta referencia de esta manera. Creo que este Lema (o una versión similar) tiene un conocido comúnmente el nombre, pero yo no lo recuerdo. Que los estados

Deje $G$ ser un f.g. abelian y de torsión libre grupo y deje $H$ ser un subgrupo. Entonces existe una mínima base $x_1, \dots, x_n$ $G$ y enteros $m_1, \dots m_r$, $r≤n$, tal que $m_{i+1}$ divide $m_{i}$ $m_1 x_1, \dots, m_r x_r$ son una de las bases para $H$.

tal vez la condición de "abelian" puede ser retirada