Cómo encontrar la integral de la $\int_0^z \exp(ax)x^{b-1}(1-x)^{c-1}dx$?

Question

Cómo encontrar la integral de la $\int_0^z \exp(ax)x^{b-1}(1-x)^{c-1}\text{d}x$ donde $b,c\in \mathbb{C}, \Re(b)>0, \Re(c)>0$?

Answer 1

Deje $I$ representan el deseado integral. Mediante la expansión de la función exponencial, entonces la integral conduce a \begin{align} I &= \int_{0}^{z} e^{a x} \, x^{b-1} \, (1-x)^{c-1} \, dx \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n!} \, \int_{0}^{z} x^{n+b-1} \, (1-x)^{c-1} \, dx \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n!} \, B_{z}(n+b, c) \end{align} donde $B_{x}(a,b)$ es la Función Beta Incompleta. Haciendo uso de la función Beta Incompleta propiedades se puede afirmar que \begin{align} I = B(b,c) \, {}_{1}F_{1}(b; b+c; a) - \frac{(1-z)^{c}}{c} \, \sum_{n=0}^{\infty} {}_{2}F_{1}(c, 1-b-n; c+1; 1-z) \, \frac{a^{n}}{n!} \end{align} donde ${}_{1}F_{1}$ ${}_{2}F_{1}$ son los hipergeométrica confluente y funciones hipergeométricas, respectivamente.

Answer 2

$\int_0^ze^{ax}x^{b-1}(1-x)^{c-1}~dx$

$=\int_0^1e^{azx}(zx)^{b-1}(1-zx)^{c-1}~d(zx)$

$=z^b\int_0^1e^{azx}x^{b-1}(1-zx)^{c-1}~dx$

$=\dfrac{z^b\Phi_1(b,1-c,b+1;z,az)}{b}$ (de acuerdo a https://en.wikipedia.org/wiki/Humbert_series)