la descomposición de una función en la inserción y proyección

Question

Tengo una simple pregunta.

Si $f:\mathbb{S}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ no es una constante continua la función, podemos representar como una composición $f=p\varphi$, donde $\varphi:\mathbb{S}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ es una incrustación y $p:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ es la proyección sobre la $x$-eje? Si la respuesta es negativa, lo que sobre el caso de una función de Morse $f$?

Observación. Para el torus $\mathbb{T}^{2}$ esto no puede ser verdad - es lo suficiente como para tomar $f$ constante en el complemento de un pequeño disco abierto.

Answer 1

Esto es imposible, incluso para funciones de Morse. Para construir un ejemplo tomar la (estándar) la universalización de la cobertura $S^2\to RP^2$ y componer con una función de Morse $RP^2\to R$. Es un buen primaria y el ejercicio para ver que la composición de la $f: S^2\to R$ no puede ser comprendido como una composición de una incrustación $S^2\to R^3$ con la proyección de $R^3\to R$. Sugerencia: considerar el par de antipodal puntos de $x, -x\in S^2$ donde $f$ alcanza su máximo.