La justificación de no cuantización de pequeñas dimensiones extra

Question

Cuando se trata con dimensiones extra ($ x ^\mu $ es $ 4D $ el espacio-tiempo y $ y $ la dimensión extra), utilizamos lo que se conoce como Kaluza-Klein descomposición (básicamente una transformada de Fourier), \begin{equation} \Phi ( x , y ) = \sum _n f _n (y) \phi _n (x) \end{equation} Más tarde, cuando se considera la acción, podemos hacer la suposición de que, \begin{align} & \int \! dy \; f _n ( y ) f _m ( y ) = \delta _{ m n } \\ & \int \! dy \; f _n ' ( y ) f _m ' ( y ) = M _{ n} ^2 \delta _{ m n } \end{align} donde los números primos indicar derivados con respecto a $y$.

Qué es exactamente lo que hacen estos supuestos decir? Mi mejor conjetura es que, dado que, al parecer, no cuantización de los campos en la quinta dimensión significa que nosotros no asumimos ninguna partículas pueden emocionarse en esa dimensión. Es esto correcto y si es así ¿por qué es que justificado?

ACTUALIZACIÓN: me di cuenta de que me estaba claro acerca de lo que me confunde. Yo no tengo ningún problema con la hipótesis de una base ortonormales (o explícitamente mediante una transformada de Fourier). Lo que quiero entender se lo hace tomando el campo del formulario, $\Phi ( x , y ) = \sum _n f _n (y) \phi _n (x) $ y acaba de llevar a cabo la integral sobre la $y$ significa? Esto no es algo que podemos hacer en condiciones normales de QFT con infinitas dimensiones, de modo que debe ser alguna suposición sobre lo que sucede en la dimensión extra. Como he mencionado anteriormente, mi sensación es que no estamos permitiendo campo de las excitaciones en esa dirección, pero no estoy seguro de por qué eso es obviamente cierto.

Answer 1

Las integrales siguen básicamente por el hecho de que el Kaluza-Klein escalar se expande en una serie de Fourier en términos de una base ortonormales. Esto puede ser comprendido si se anote $f(y)$ explícitamente:

$$f_n(y)=\exp(iny/R),$$

donde n puede tomar valores entre el$-\infty$$\infty$, e $R$ es el radio de la compactified dimensión. El orthonormality ecuaciones, a continuación, leer

$$\int\overline{f_n(y)}f_m(y)\,dy=\delta_{mn},$$ $$\int\partial_y\overline{f_n(y)}\partial_yf_m(y)\,dy=mn/R^2\delta_{mn}.$$

Para $m=n$, la última expresión se reduce a $n^2/R^2$ donde $p_n=n/R$ es el cuantificada impulso en el periódico dimensión. Desde las cinco dimensiones escalares es la masa, es decir,$p^{\mu}p_{\mu}+p^2=0$, se deduce que de las cuatro dimensiones punto de vista existe una partícula con masa al cuadrado $M_n^2=-p^{\mu}p_{\mu}$,$M_n^2=p_n^2=n^2/R^2$.

Answer 2

No es la primera integral de la ecuación de la orthonormality supuesto de que las funciones de base de $f_n$ debe poseer cuando tratando de expandir una función arbitraria uso de ellos, así como la base de Fourier $f_n(y)=e^{iny}$, etc? No estoy seguro de donde la segunda ecuación viene (tal vez usted podría dar una referencia), pero suponiendo que la misma exponencial de base se encuentra: $$f'_n(y)=inf_n(y)$$ por lo tanto $$\int dy f'_n(y)f _m(y) = -nm\int dy f_n(y)f_m(y) \\ =-nm \delta_{nm} = -n^2 \equiv M_n^2 $$ ¿Tienen sentido o me he perdido completamente su punto?

Answer 3

El caso más general sería, por supuesto, tomar los campos de la forma $\Phi ( x , y ) = \sum _n \phi _n (x,y) $. Tomando el campo del formulario, $\Phi ( x , y ) = \sum _n f _n (y) \phi _n (x) $ y acaba de llevar a cabo la integral sobre la $y$, estamos considerando la posibilidad de un efectivo de la teoría de campo de toda la teoría. Como se puede ver claramente el efecto de las dimensiones extra se ha "integrado". Esta físicamente significa que esencialmente estamos ignorando las fluctuaciones y la dinámica en las dimensiones adicionales y reemplazarlos con sus valores promedio.

Esta aproximación se utiliza comúnmente en Kaluza-Klein reducción al estudio de la física en 4d y es válido en escala mucho más grande que el radio de la compactified espacio. Sin embargo, usted debe mantener en mente que es una forma efectiva de teoría y usted tendrá que considerar el general ansatz he mencionado al principio si usted desea estudiar los efectos a escalas más pequeñas.