Cero Gaussian curvatura y restricción las estimaciones

Question

Vamos $$ \left(\int_M|\sombrero{f}|^qd\mu(\xi)\right)^{1/q}\leq c||f||_{L^p(\mathbb{R}^n)} $$ ser una restricción estimación de una hipersuperficie $M\subset\mathbb{R}^n,~1<p<\infty$ $\mu$ de la superficie medida. Si queremos que no sea trivial resultados a la hora de analizar esta desigualdad, entonces la hipersuperficie $M$ debe tener algo de la curvatura Gaussiana. ¿Por qué es esto? ¿Qué sucede si $M$ cero, la curvatura Gaussiana? Específicamente, ¿cuál es la relación entre la curvatura de Gauss de la hipersuperficie, y el establecimiento de la restricción de presupuesto?

La desigualdad anterior se puede leer como "podemos aplicar a la superficie de la transformada de Fourier a la hipersuperficie en $L^q$ norma y se extienden a$f$$\mathbb{R}^n$". Entonces, ¿por qué la curvatura de Gauss de $M$ importa?

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

A modo de ilustración, consideremos el caso en que el espacio ambiente es $\mathbb{R}^3$ $M$ $(x,y)$- avión (que es una superficie de 0 la curvatura Gaussiana).

Deje $g$ ser una función de soporte compacto en $\mathbb{R}^3$ cuyo apoyo incluyen el origen. Deje $g_{\nu}(x,y,z) = g(x, y, z/\nu)$. Su inversa de la transformada de Fourier de escamas como $$ \check{g}_{\nu}(x,y,z) =\nu \check{g}(x, y, \nu z) $$ Así $$ \| \check{g}_{\nu} \|_{L^p} = \nu^{1 - \frac{1}{p}} $$

Deje $\mu$ ser el natural inducida por la medida de superficie en $M$.

Ahora tenemos que $\|g_{\nu}\|_{L^q(M,\mu)} = \|g\|_{L^q(M,\mu)} $ desde la restricción de $g|_M$ no es cambiado por la escala de la $z$ dirección. Esto contradice cualquier estimación de la forma $$ \|g_{\nu}\|_{L^q(M,\mu)} \leq c \|\check{g}_{\nu}\|_{L^p} \approx \nu^{1 - 1/p} $$ con $p > 1$ desde $\nu \to 0$ el lado derecho puede hacerse arbitrariamente pequeña, pero el lado izquierdo es una constante fija.

Esto demuestra que el peor de los casos de lo que puede ir mal.

El caso de $p = 1$ es especial, ya que tenemos el trivial estimar a partir de la definición de la transformada de Fourier que $\|\hat{f}\|_{L^\infty} \leq \|f\|_{L^1}$ $L^\infty$ se comporta bastante bien después de la restricción a la medida de superficie.