Demostrando que el espacio de bucles $\Omega S^{\infty}$ es homotópico a $S^{\infty}$ .

Question

Demostrando que la esfera de dimensión infinita $S^{\infty}$ es contráctil es bastante fácil construyendo una contracción explícita (Hatcher da una buena). Pensé que podría ser un buen ejercicio para tratar de mostrar esto usando espacios de bucle y el hecho de que $\pi_1(S^{\infty})$ es trivial.

Que el espacio del bucle $\Omega X$ sea el espacio de bucles puntuales de base en $X$ . Por ahora, supongamos que el espacio de bucles $S^{\infty}$ es equivalente en homotopía a $S^{\infty}$ . Entonces, $\pi_2(S^{\infty})=\pi_1(\Omega S^{\infty})=\pi_1(S^{\infty})=0$ . Continuando por inducción, obtenemos que todo grupo de homotopía de $S^{\infty}$ es trivial y por lo tanto $S^{\infty}$ es contraíble porque $S^{\infty}$ es un complejo CW (por Whitehead). Por lo que veo, este argumento no tiene agujeros.

Mi problema ahora está en probar la suposición de que $\Omega S$ es homotopía equivlanet a $S$ . No tengo demasiada experiencia con los espacios de bucles o los espacios de funciones en general, así que me cuesta un poco.

Un enfoque podría ser encontrar una fibración $F\rightarrow\Omega S^{\infty}\rightarrow S^{\infty}$ y luego jugar con secuencias exactas largas en homotopía, pero no estoy seguro de que tal fibración exista. Tal vez algo como 'Si $f\colon [0,1]\rightarrow S^{\infty}$ es un bucle, dejemos que $p\colon \Omega S^{\infty}\rightarrow S^{\infty}$ sea dada por $p(f)=f(1/2)$ ¿Funcionaría? ¿Es p una fibración? Y si es así, ¿qué aspecto tienen las fibras? El mejor escenario sería que existiera alguna fibración con fibra contráctil. Sin embargo, me preocupa que demostrar que dicha fibra es contráctil equivaldría a demostrar que $S^{\infty}$ es contraíble, lo que desvirtúa el objetivo del ejercicio.

Answer 1

Quizá puedas conseguir algo utilizando el teorema de Freudenthal (aunque hay que reconocer que es un poco exagerado), ya que estudia la conectividad del mapa natural a $\Omega \circ S$ . Suponiendo la afirmación de que la suspensión de $S^\infty$ es de nuevo $S^\infty$ (tenemos que utilizar el comportamiento límite de este espacio en algún lugar ), entonces si $S^\infty$ es $n$ -conectado, el mapa

$\pi_k(S^\infty) \to \pi_k(\Omega S^\infty) = \pi_{k+1}(S^\infty)$

es un isomorfismo para $k \le 2n$ . Entonces esto es ciertamente cierto para $k = n$ , lo que da como resultado que $\pi_{n+1}(S^\infty)$ también es trivial, por lo que $S^\infty$ es al menos $(n+1)$ -conectados- podemos continuar para dar con todos los grupos de homotopía.

Answer 2

Aunque no sé la respuesta a su pregunta, quería comentar lo siguiente.

Me parece que te gustaría tener una prueba "más bonita" del hecho de que la esfera infinita es contractible. Lo que intentas hacer es demostrar que es débilmente contráctil y utilizar el teorema de Whiteheads (que también me parece más bonito que una contracción explícita).

Pero el hecho de que la esfera infinita sea débilmente contráctil puede verse fácilmente a partir del hecho de que dada $n \geq 0$ puede estar dotado de una estructura CW tal que su n-skelleton es un punto y utilizando el teorema de aproximación celular.

Answer 3

Desde $\pi_1(S^\infty)=0$ es bastante fácil demostrar que $S^\infty$ y $\Omega S^\infty$ son equivalentes en homotopía : conjunto $\rho : S^\infty \to \Omega S^\infty$ , $\rho(p)(t)=p$ por cada $t\in[0,1]$ (ya que $\rho(p)$ es un camino, tiene sentido escribir $\rho(p)(t)=p$ ) y $\tau : \Omega S^\infty \to S^\infty$ , $\tau(\gamma)=\gamma(0)$ . Ahora $\tau\circ\rho$ es la identidad, y $\rho\circ\tau$ es isotópico a la identidad, ya que $\pi_1(S^\infty)=0$ y, por tanto, todo bucle es equivalente en homotopía al bucle constante en su punto base: elija una isotopía $F_\gamma$ de cada bucle $\gamma$ a su punto de base, y a continuación, establece $F:\Omega S^\infty \times [0,1]\to\Omega S^\infty$ por $F(\gamma,t)=F_\gamma(t)$ y esto es una homotopía entre la identidad y $\rho\circ\tau$ .