Se asigna a espacio proyectivo determinados por un haz de línea

Question

El siguiente debería ser bastante estándar para cualquier algebraicas aparejador.

Deje $X$ ser un equipo compacto compleja variedad, y deje $L$ ser una línea de paquete en la $X$. Podemos decir $L$ es 'generado por el mundial de secciones, si para cada punto de $p$$X$, hay una sección global de $L$ que no se desvanezca. Si esto es cierto, entonces $L$ determina un mapa de un espacio proyectivo de la siguiente manera. El mundial de las secciones de $L$ son finito dimensionales, así que elige una base $(a_i)$. A continuación, envíe un punto de $p$ $X$ a la proyectiva punto

$$ [a_1(p):a_2(p):...:a_n(p)] $$

Cabe señalar que $a_i(p)$ es sólo un punto en la fibra de $L$$p$, y no un número complejo. Mediante la elección de un isomorfismo de la fibra a $p$$\mathbb{C}$, $a_i(p)$ pueden ser identificados con los números complejos. La ambigüedad introducida en la elección de este isomorfismo dissappears cuando se toman las coordenadas proyectivas.

Esto construcciones es muy ad hoc para algo que termina siendo fundamental en la geometría algebraica. Se requiere la variedad más de $\mathbb{C}$, y requiere que algunos intrascendente opciones de ser hechos en ruta.

Mi pregunta es, ¿qué más agradable, más intrínsecamente algebraicas maneras de construir este mapa? Tres maneras en las que esta construcción podría ser mejor:

• Se podría trabajar sobre otros campos, o posiblemente incluso más de $\mathbb{Z}$ (aunque luego sus menos claro lo que es una línea de paquete debe ser).
• Se podría dar un buen intuitiva justificación de por qué este mapa es una forma natural y potente cosa a tener en cuenta.
• Se podría prestarse a generalizaciones en diferentes direcciones. Por ejemplo, un rango de n vectores bundle V con 'suficiente global de secciones (en algún sentido) debe determinar un mapa de X a $Hom_{\mathbb{C}}(\Gamma(V),\mathbb{C}^n)//GL(n)$ (donde es una GIT cociente).

A un lado. Hay incluso un buen nombre para esta construcción? El "mapa para proyectiva espacio determinado por una línea de paquete", es un poco largo aliento.

Answer 1

Esta es una de las preguntas más fundamentales posible. Por tanto, aunque es antiguo y bien contestado, me atrevo a añadir algo, con la esperanza de hacer que parezca tan transparente como sea posible.

Yo sugeriría que la manera de entender esta construcción es mirar hacia atrás. I. e. por su propia definición, proyectiva del espacio lleva a una tautológica de la línea de paquete, cuyo doble paquete tiene como secciones de las coordenadas lineales. Estas secciones no tienen en común ceros debido a que el hyperplanes no tienen puntos en común. Por lo tanto, cualquier subvariedad de proyectiva del espacio también tiene una restricción de la línea de paquete de cuyas secciones no tienen en común ceros.

Por otra parte un punto de proyectiva del espacio está determinada por el conjunto de hyperplanes a través de ella, por lo que cualquier subvariedad es determinado por la línea restringida paquete, ya que cada punto es recuperado desde el conjunto de secciones de fuga. Además, la proyectiva del espacio en sí es doble para el espacio de hyperplanes, por lo tanto, el espacio global de las secciones de la agrupación. Por lo tanto el paquete en la subvariedad determina tanto el ambiente proyectiva del espacio y la incrustación.

Ahora uno ve de inmediato que uno puede imitar este para dar un mapa, no necesariamente una incrustación, de cualquier variedad con una línea de paquete de cuyas secciones no tienen en común los ceros a la doble espacio proyectivo de su espacio de secciones, mediante el envío de cada punto para el subconjunto de sus secciones de fuga en ese punto, como dijo Anton.

En pocas palabras, desde el espacio proyectivo tiene una línea de paquete de cuyas secciones no tienen en común ceros, y la línea de paquetes y secciones tire hacia atrás bajo mapas, tener una línea de paquete es una condición necesaria para que un mapa para proyectiva del espacio. Entonces uno se pregunta si es suficiente, y es, como en el anterior.

Es fácil también para recuperar las propiedades que determinan si el mapa es una incrustación.

Mirado de esta manera, no hay nada misterioso acerca de esta construcción - de hecho, es la propiedad definitoria del espacio proyectivo.

Answer 2

Estoy seguro de que alguien va a poner en marcha el stacky respuesta a esta pregunta, pero vamos a tratar de dar una más a la tierra.

El punto es que proyectiva del espacio está definido mediante un functor $\mathrm{Proj}$. $\mathrm{Proj}$ tiene la propiedad agradable que si $X$ es cualquier esquema, y $L$ es una línea de paquete, entonces no es un canónica mapa de $X_0$ $\mathrm{Proj}(\oplus_{n\geq 0}\Gamma(X;L^{\otimes n}))$donde $X_0$ es el subconjunto de a $X$ donde al menos una sección de $L^{\otimes n}$ es nonvanishing para algunos n. Este no utiliza ningún tipo de opciones o algebraicamente cerrado; base para cualquier sección de $L^{\otimes n}$, sólo tomamos el mapa a la affinization de la no-desaparición de conjunto y la cola de todos estos juntos.

Por lo tanto, si $L$ es generado a nivel mundial, tenemos un mapa de$X$$\mathrm{Proj}(\oplus_{n\geq 0}\Gamma(X;L^{\otimes n}))$, y este es el universal polarizada proyectiva variedad tal que el pullback de $\mathcal{O}(1)$$L$. Ahora, sólo tenemos que encontrar mapas de esta variedad a $\mathbb{P}^n$ que dan a la derecha de la línea de paquete.

Así que debemos pensar acerca de lo que los mapas entre dos Projs (conservando la línea de paquete), y que es bastante sencillo, mapas graduales de los anillos de la otra manera, que golpeó a todos los que no son irrelevantes ideales.

Desde $\mathbb{P}^n$ es Proj de un polinomio anillo, un mapa de un Proj para proyectiva del espacio de picking $n$ grado 1 secciones que generan un álgebra que golpea a todos los no-irrelevante ideales, que es exactamente la descripción que me has dado.

Answer 3

Esta respuesta se entiende como (1) la stacky respuesta Ben previsto, y (2) una respuesta abordar la generalización a un mayor rango de paquetes. Lo básico supongo que usted sabe (o están dispuestos a tomar como definición), es que una de morfismos de $X$ a un cociente de la pila de $[Y/G]$ es equivalente a los datos de una $G$-torsor $P\to X$ $G$- equivariant de morfismos $P\to Y$. Para $BG=[*/G]$, es sólo los datos de una $G$-torsor, ya que sólo hay una opción posible de mapa a un punto.

En primer lugar, la stacky interpretación. Una elección de una línea de paquete de $\mathcal L$ en un esquema de $X$ es equivalente a un morfismos a la pila de $\def\GG{\mathbb G} B\GG_m$; el $\GG_m$-torsor es el complemento de la sección cero en el espacio total $\mathbb V(\mathcal L)$. Una elección de una línea de paquete junto con $n$ secciones es equivalente a una de morfismos $f:X\to\def\AA{\mathbb A} [\AA^n/\GG_m]$; el $\GG_m$ torsor es el complemento de la sección cero de $\mathcal L$, y el $n$ mapa a $\AA^n$ está dado por la $n$ funciones regulares que son los pullbacks de las secciones. La condición de que $f$ pierde el stacky punto de $[\AA^n/\GG_m]$ (es decir, el punto donde el $\GG_m$ no actuar libremente)-y, por tanto, los factores a través de la subesquema de $[(\AA^n\smallsetminus 0)/\GG_m]=\mathbb P^{n-1}$ -es precisamente la condición de que las secciones no todos se desvanecen en el mismo punto.

Ahora la generalización. Un rango de $k$ vector paquete de $\def\E{\mathcal E} \E$ en un esquema de $X$ es equivalente a un morfismos a la pila de $BGL_k$; el $GL_k$-torsor es la gavilla $\def\O{\mathcal O} Isom(\O^k,\E)$. Un vector paquete junto con una selección de $n$ secciones es equivalente a una de morfismos $f:X\to [(\AA^k)^n/GL_k]$; de nuevo, el $GL_k$-torsor es $Isom(\O^k,\E)$, y el $k\cdot n$ regular las funciones del torsor están dadas por el retroceso de la $n$ secciones de $\E$, y el hecho de que el retroceso de $\E$ es canónicamente identificado con $\O^k$. Con respecto a $(\AA^k)^n$ como el espacio de $k\times n$ matrices, la stacky locus de $[(\AA^k)^n/GL_k]$ (es decir, los puntos no triviales estabilizadores) es el lugar donde el rango de la matriz es menor que $k$. Por lo tanto la condición de que $f$ pierde el stacky locus es equivalente a la condición de que el $n$ secciones abarcan la fibra de $\E$ en cualquier punto. La no-stacky locus es el abierto subesquema de $[${$k\times n$ matrices de rango $k$}$/GL_k]$, el Grassmannian de $k$-planos en $n$-espacio, $Gr(k,n)$. Por lo tanto, tienen la siguiente interpretación.

Un vector paquete de $\E$ en un esquema de $X$, junto con $n$ secciones $s_1,\dots, s_n$ a que abarcar cada fibra es equivalente a una de morfismos $X\to Gr(k,n)$.

Si usted no quiere cosas sucias por la elección de las secciones, puede reemplazar $(\AA^k)^n$ $Hom(\Gamma(\E),\mathbb C^k)$ en todas partes. La no-stacky locus es entonces el espacio de surjective lineal mapas. Luego, mirando a los núcleos, parece que naturalmente se $Gr(n-k,n)$ en lugar de (isomorfo) $G(k,n)$. Estoy seguro de que esto tiene algo que ver con un dualization involucrados en la formación del espacio total de un local libre de gavilla; siendo a menudo me confunde, así que voy a dejar este hilo suelto.

Answer 4

Intrínsecamente, el mapa de $X$ $\mathbb P(\Gamma(L))$(el espacio de hyperplanes en $\Gamma(L)$) se da mediante el envío de un punto de $x\in X$ a la hyperplane de las secciones que se desvanecen en $x$ (usted puede ver que este es un hyperplane por la observación de que, dadas dos no proporcional secciones de $L$, siempre hay algo no trivial de la combinación lineal de ellos que se desvanece en $x$). Si todas las secciones de $L$ desaparecen en $x$, el mapa no está definido en $x$.

Esta construcción funciona a través de un campo. Si quieres trabajar sobre $\mathbb Z$, se debe utilizar el lenguaje de Proj de graduado anillo, pero luego se pone más difícil imaginar la geometría.

El lugar adecuado para aprender acerca de las diferentes versiones de la línea de paquetes de "tener suficientes secciones" es Lazarsfeld la Positividad en la Geometría Algebraica yo. El lugar adecuado para aprender acerca de las generalizaciones de vectores haces es, probablemente, la Positividad en la Geometría Algebraica II.

Answer 5

Lo siento responder una vieja pregunta que tiene ya varias respuestas buenas, pero se sorprendió que nadie parece mencionar que la construcción exacta que estaba buscando el OP, en generalidad completa esquema teórico y con todos los datos enunciados, puede encontrarse en EGA, II, 4.2. Escribí un resumen muy breve en la respuesta a esta pregunta.