Demostración del análogo de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para variables aleatorias

Question

La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que para dos vectores $u$ y $v$ en un espacio de producto interno, $$\lvert (u,v)\rvert \leq \lVert u\rVert \lVert v \rVert$$
con la igualdad que se mantiene si un vector es un multiplicador constante del otro.

Demostrar el análogo de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para variables aleatorias:

$$\lvert E[XY]\rvert \leq \sqrt{E[X^2]} \sqrt{E[Y^2]}$$

(Sugerencia: Utilice el hecho de que $E[ (\alpha X + Y)^2 ] \geq 0$ para todos los reales (constantes) $\alpha$ )

Answer 1

Fíjate en las dos siguientes expectativas:

$$E[(aX+bY)^2]=a^2E[X^2] + b^2E[Y^2] + 2abE[XY] \ge 0$$ $$E[(aX-bY)^2]=a^2E[X^2] + b^2E[Y^2] - 2abE[XY] \ge 0$$

Ahora dejemos que $a^2=E[Y^2]$ y $b^2=E[X^2]$ . Esto da

$$ 2abE[XY] \ge -2a^2b^2$$ $$ 2abE[XY] \le 2a^2b^2$$

Dividiendo por $2ab$ resultados en

$$ -\sqrt{E[X^2]} \sqrt{E[Y^2]} \le E[XY] \le \sqrt{E[X^2]} \sqrt{E[Y^2]}$$ lo que equivale a

$$ |E[XY]| \le \sqrt{E[X^2]} \sqrt{E[Y^2]}$$

Answer 2

Existe un debate sobre si el mapeo $(X, Y) \mapsto E[XY]$ define un producto interno. Si lo hace, entonces su resultado se desprende de la desigualdad estándar de Cauchy-Schwarz en espacios de producto interno general.

Pero, incluso si es correcto, este enfoque es más bien una evasión, y podría considerarse fácilmente como un razonamiento circular.

Para evitar el razonamiento circular, basta con adaptar cualquier prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Algunas de ellas se dan en esta página de wikipedia .

He aquí una de esas pruebas: Como dice su pista, sabemos que $E[(kX+Y)^2] \ge 0$ para cualquier real $k$ . Ampliando esto, obtenemos:

$$k^2E[X^2] + 2kE[XY] + E[Y^2] \ge 0$$

Consideremos esto como una cuadrática en $k$ . Es no negativo para todos los $k$ por lo que tiene como máximo una raíz real, por lo que su discriminante (el $b^2 - 4ac$ cosa) debe ser $\le 0$ . En otras palabras $$ (2E[XY])^2 - 4E[X^2]E[Y^2] \le 0$$ y el resultado es inmediato.

Nótese que no he demostrado la afirmación sobre cuándo se produce la igualdad. De hecho, no creo que esta afirmación sea cierta, como señaló el comentario de WimC.

Answer 3

Cuando $\mathbb EY^2\not=0$ , uno tiene $$ \mathbb EX^2\mathbb EY^2-(\mathbb E XY)^2=\frac{\mathbb E\bigl((\mathbb EY^2) X - (\mathbb E XY) Y\bigr)^2}{\mathbb EY^2}. $$