$e_n \to 0$ débil en $l^\infty$

Question

Dado el la secuencia $(e_n)_n$ $l^\infty$, quiero mostrar que ese $e_n$ converge débil a $0$ $l^\infty$, es decir, $$e_n\rightharpoonup 0 \text{ as } n\to \infty.$$ By $e_n\in l^\infty$, I mean the sequence $e_n^{(m)} = \delta_ {m, n} $.

¿Debo tratar mostrar esta mirando el doble de $l^\infty$ que no es trivial, o hay otra forma?

Answer 1

Alternativamente y directamente:

Asuma por la contradicción que $(e_n)_{n}$ no converge débil a cero. Entonces existe un $\epsilon >0$ y un funcional $f\in l_\infty^\ast$s.t. $|f(e_n)|\geq \epsilon$ para infinitamente muchos $n\in\mathbb{N}$. Pasando a eso subsequence, tenemos que $|f(e_{n_k})|\geq \epsilon$ % todos $k\in\mathbb{N}$. Que $\lambda_k :=\text{sign } f(e_{n_k})$ y set $x_N:=\sum_{k=1}^{N} \lambda_k e_{n_k}\in l_\infty$, tenemos que $\|x_N\|_\infty=1$ y $|f(x_N)|= \sum_{k=1}^N |f(e_{n_k})|\geq N\epsilon$.

Ya que podemos hacer cada $N\in\mathbb N$, obtenemos una contradicción el hecho de que $f\in l_1^\ast$.

Answer 2

Desde aquí sabemos que $(e_n)_n$ converge débil a $0$ iff está limitado y cada subsequence converge casi uniformemente a $0$.

Claramente, $(e_n)_n$ es acotada y pointwise convergente a $0$. Dado un subsequence $(e_{n_k})_k$, $\epsilon>0$ y $n_0\in \mathbb{N}$. Conjunto de $\alpha_1 = {n_0+1}$ y $\alpha_2={n_0+2}$. Entonces para cualquier $m\in\mathbb N$ tenemos %#% $ #%

Por lo tanto, $$\min_{i={1,2}}e_{n_{n_0+i}}(m)=\min_{i={1,2}} (\delta_{n_0+i,m})=0<\epsilon.$ $e_n \to 0$ débil.