¿Es cierta esta afirmación? $(\xi \circ k)(s)=(k \circ \xi )(s)=0$ $\implies$ $k(s)=\zeta(s)=0 $ es verdadera si y sólo si la Hipótesis de Riemann es falsa?

Question

Es bien sabido que $\xi(s)=\xi(1-s)$ es una ecuación funcional verificada para todos los complejos $s$ donde $\xi(s) = s(s-1) \pi^{s/2} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s)$ .

deje $k(s)=\xi(1-s)$ y $s=\alpha+\beta i$ sea una variable compleja , $\alpha , \beta $ son números reales . y $\beta \neq 0$ diferente de cero

-¿Hay alguien que me muestre si esta equivalencia es cierta :

$(\xi \circ k)(s)=0 $ $\implies$ $k(s)=\xi(s)=0 $ es verdadera si y sólo si la Hipótesis de Riemann (HR) es falsa?

Veo que esta afirmación nos ayuda a probar o refutar RH.

nota : he editado la pregunta que tiene el mismo objetivo con el precedente.

Me interesaría cualquier respuesta o comentario. Gracias.

Answer 1

Considere las siguientes proposiciones: $$P(z): "\xi(k(z))=k(\xi(z))=0"$$ $$Q(z): "k(z)=\zeta(z)=0"$$ $$R(z): "\text{RH is false}"$$ Así que tu problema se puede plantear como si la siguiente relación de equivalencia fuera cierta: $$(P(z)\to Q(z))\leftrightarrow R(z)$$ Ahora bien, la afirmación bicondicional anterior es cierta si y sólo si $R(z)\equiv T$ y $P(z)\to Q(z)\equiv T$ o $R(z)\equiv F$ y $R(z)\equiv F$ donde $T$ y $F$ significan "verdadero" y "falso" respectivamente.

Primera toma $R(z)\equiv T$ entonces existe alguna $z_0$ con $\Re(z)\neq 1/2$ tal que $\zeta(z_0)=0$ . Es bien sabido que los ceros de $\xi(z)$ son precisamente los ceros no triviales de la función zeta $\zeta(z)$ . Por lo tanto $\xi(z_0)=0$ . Según su definición $k(z)=\xi(1-z)$ y utilizando la simetría $\xi(z)=\xi(1-z)$ usted acaba de obtener $\xi(k(z))=k(\xi(z))=\xi(\xi(z))$ . En $z_0$ tenemos $\xi(\xi(z_0))=\xi(0)=1/2$ un resultado que se obtiene de la definición funcional de $\xi(z)$ sin asumir ninguna hipótesis adicional. Así que $P(z)\equiv F$ y cualquiera que sea el valor de verdad de $Q(z)$ es uno tiene $P(z)\to Q(z)\equiv T$ . Por lo tanto hemos demostrado hasta ahora \begin{equation} R(z)\to (P(z)\to Q(z)) \end{equation} Para comprobar la otra dirección observe que si $\xi(\xi(z))=0$ implica $\xi(z)=w_0$ donde $w_0$ es un cero no trivial de la función zeta en la franja crítica. Como no hay ningún cero no trivial en el intervalo $(0,1)$ entonces la declaración $\xi(z)=\zeta(z)=w_0=0$ es falso. Por lo tanto, la proposición compuesta $P(z)\to Q(z)$ es falso. Así que para $P(z)\to Q(z)$ para ser verdad necesitas ahora necesariamente $P(z)\equiv F$ que también deja $Q(z)$ libre de tomar cualquiera de los dos valores de verdad porque si $P(z)\equiv F$ entonces $P(z)\to Q(z)\equiv T$ cualquiera que sea el valor de verdad de $Q(z)$ es. Pero $P(z)\equiv F$ significa $$\xi(\xi(z))\neq 0$$ lo que implica que $\xi(z)\neq w_0$ donde $w_0$ es cualquier cero no trivial de la función zeta. Sin embargo, esta condición no establece nada sobre la validez de la hipótesis de Riemann. Por tanto, $$(P(z)\to Q(z))\to R(z)$$ no tiene garantizada su veracidad. Por lo tanto, su afirmación bicondicional no es cierta. Pero por supuesto tienes que lo siguiente es cierto: \begin{equation} R(z)\to (P(z)\to Q(z)) \end{equation}

Answer 2

$\xi(s)=\xi(1-s)$

Usted definió $k(s)=\xi(1-s)$ .

Así que $k(s)=\xi(s)$ .

A continuación se pregunta si $\xi(\xi(s)) = 0 => \xi(s) = 0$ es verdadera si RH es verdadera.

No hay razón para suponer que estos dos problemas estén relacionados.

Tenga en cuenta que si $\xi(s) = 0$ esto implica que $\xi(\xi(s)) = \xi(0) = \frac{1}{2}$ .

Desde $\frac{1}{2}$ no es $0$ su afirmación fracasa.

Q.E.D.