Dada una secuencia definida sobre los enteros positivos, ¿cómo se prolongase hasta definirse en cero?

Question

Esta pregunta está inspirada en una conferencia Bjorn Poonen dio en el MIT el año pasado. Tengo mis propias ideas, pero estoy interesado en lo que otras personas tienen que decir, así que voy a hacer esta wiki de la comunidad y publicar mis propios pensamientos más tarde. Aquí están algunos ejemplos de lo que estoy hablando:

• ¿Por qué a^0 = 1?
• Por qué no 0! = 1?
• Si el número Fibonacci F_n+1 cuenta el número de maneras de baldosas de un consejo de longitud n con azulejos de longitud 1 y 2, ¿por qué la F₁ = 1?
• ¿Cuál es el determinante de una 0x0 matriz?
• ¿Cuál es el grado del polinomio cero?
• ¿Cuál es el producto directo de cero grupos?
• ¿Qué es el cero homotopy grupo de un espacio?

Quiero ser muy preciso acerca de exactamente lo que le estoy pidiendo aquí.

Pregunta 1: ¿Qué principios generales que puedes aplicar en una situación como esta? Pueden ser declarado como teoremas, o hacer que sólo existen en el nivel de la intuición?

Pregunta 2: ¿conoce usted algún ejemplo donde hay dos diferentes maneras de extender una secuencia de cero, ambos de los cuales son razonables desde la perspectiva de algún principio?

Siéntase libre de responder a cualquier nivel de sofisticación.

Answer 1

Mi propio pensamiento tienden a girar en torno a algún subconjunto de los siguientes:

--Encontrar una combinatoria definición de la secuencia, y ver si tiene sentido cuando se amplía un poco más.

--Si usted está tratando de realizar un vacuo tarea (por ejemplo, suelo de baldosas de un tablero vacío, o contando las funciones definidas en el conjunto vacío), usted puede hacerlo exactamente de una manera. La mayoría de sus ejemplos caen bajo esta categoría, incluyendo a^0 (funciones definidas en el conjunto vacío), 0! (bijections en el conjunto vacío), F_1 (mosaico de un tablero vacío), y la cardinalidad del producto directo de grupos (la elección de un objeto de cada clase, de manera que el producto directo debe ser la identidad).

--Un vacío de la suma es igual a 0, el vacío de un producto es igual a 1. (volver a la cardinalidad del producto directo de 0 grupos debe ser 1).

¿Y el determinante de una 0x0 matriz? Bueno, es una suma de todas las permutaciones de un 0 elemento propio de vacío de un producto. Hay un elemento en la suma (vacuo de la tarea), y su vacío de un producto, por lo que debe ser 1.

Yo no sé realmente si hay una rigurosa instrucción de este, o si no hay alguna manera de que pueda entrar en auto-contradicción si hay dos combinatoria maneras de definir una secuencia, pero es lo que parece natural.

Answer 2

El determinante de una f de endomorfismos de un R-módulo libre de dimensión n (R conmutativa) es el $d \in R$ tal que $\bigwedge^n f$ es la homotecia de razón d. Nuestro caso corresponde a $n=0$ y $\bigwedge^0 f$ es la identidad de R, por lo tanto d = 1.

Las razones, ya dadas, por qué 0 ^ 0 = 1 (m ^ n es el número de funciones de un sistema de cardinality n a un conjunto de cardinalidad m) y 0! = 1 (n! es el número de bijections de un conjunto de cardinalidad n), son ilustraciones de ideas de Baez en el recuento de decategorification.

Answer 3

Esto puede sonar cojo, pero yo diría que basta con mirar las propiedades de la secuencia que te importa, y si se puede definir así las propiedades aún mantienen (reglas exponente, recursividad, propiedades universales...), entonces hacer. Por lo menos me puedo imaginar que siendo una respuesta más general que esto.

Con respecto a 0 ^ 0, yo diría que 0 ^ 0 = 1 ya que funciona mejor "algebraico", entonces usted todavía puede escribir 0^0=0^(-0)=1/(0^0) y 0^0=0^(0+0)=(0^0)*(0^0).

Answer 4

Para los tres primeros, puede definir una repetición. Ejecutar las repeticiones hacia atrás.

También, 0! = Γ(1) = int_0 ^ \infty e^(-t) = 1; Aquí no hay nada especial sobre 0. (Pero Γ no está definida para los números enteros nonpositive).

Answer 5

Dado sus ejemplos, que no parecen estar pidiendo una canónica de manera de ampliar las funciones arbitrarias definida en los enteros positivos a cero. En su lugar, usted está tomando las funciones cuyas entradas son conjuntos y preguntando si se pueden definir cuando una entrada es el conjunto vacío. Mientras su secuencia definida en los enteros positivos viene equipado con este extra estructura, usted no debería tener demasiados problemas para extender de forma natural. Si usted comienza con un estructurado de la secuencia, las razones por las que favorecen una extensión de más de otro se vuelven más débiles (por ejemplo, la complejidad de Kolmogorov).

He aquí el ejemplo de una secuencia que se extiende a cero en diferentes formas: la secuencia es idéntica a cero en los enteros positivos. Una extensión es la función cero. Otras extensiones de interpretar la secuencia n -> k 0ⁿ para algún k distinto de cero.

Por cierto, usted tiene que elegir un punto de base en el espacio para definir pi₀. Una vez que tienes eso, es el conjunto de homotopy clases de punta mapas de S⁰ a su espacio. De manera equivalente, es el (señalando) conjunto de componentes de la ruta. No tiene un grupo natural de la estructura (aunque puede que si su espacio viene con algún tipo de composición ley).