¿Topología de la convergencia uniforme?

Question

La piedra comienza con un espacio compacto arbitrario Hausdorff X y considera el álgebra C(X,R) de las funciones continuas de valor real en X, con el topología de convergencia uniforme

Me cuesta entender lo que significa la topología de la convergencia uniforme. Por supuesto que sé lo que significa convergencia uniforme - una secuencia de funciones que satisfacen un conjunto particular de propiedades de convergencia - pero ¿la "topología de convergencia uniforme"? No estoy seguro.

Answer 1

Asumiría que significa ver $C(X, \mathbb R)$ como un espacio métrico con el métrica uniforme $$d(f,g)= \sup_ {x \in X}\;|f(x)-g(x)|$$ y derivar una topología de esa métrica. Entonces la convergencia de una secuencia bajo esta topología es lo mismo que la convergencia uniforme de funciones $X \to\mathbb R$ .