Si $f: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ tiene una derivada continua en un punto

Question

Hay un montón de ejemplos bien conocidos de "continua en el punto pero no continuo en un barrio", "diferenciable en un punto pero no continuo en un barrio" (por supuesto luego no diferenciables).

¿Es correcto que una para una función tiene una derivada continua en un punto, debe tener un derivado continuo en un barrio alrededor de ese punto? No puedo pensar en cualquier lucha contra ejemplos.

Answer 1

No. Considerando $n=1$. El conjunto de puntos de continuidad de la derivada de una función derivable debe ser no vacío, pero el conjunto de puntos de discontinuidad puede ser densa. Así que si usted toma cualquier función diferenciable y cuya derivada es discontinua en un denso conjunto, cualquiera de los puntos de continuidad de la derivada se proporcione un contraejemplo. Para mucha más información y referencias, ver esta respuesta de Dave Renfro: https://math.stackexchange.com/a/112133/

Para un ejemplo concreto

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2} \left(x-\frac1n\right)^2\sin\left(\frac1{x-\frac1n}\right)$$ should be a counterexample at $0$. Véase también Muestran que la función es diferenciable, pero su derivada es discontinuo.