Que $H$ $K$ ser subgrupos de $G$ tal que $H \cap K = \{e\}$. ¿$H \cup K$ Es un subgrupo de $G$?

Question

Que $H$ $K$ ser subgrupos de $G$ tal que $H \cap K = \{e\}$. Entonces $H \cup K$ es un subgrupo de $G$.

Sé que $H \cup K$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $H \subseteq K$ o $K \subseteq H$ pero no estoy seguro de cómo que ayuda aquí.

¿Es esta declaración verdadera o falsa?

Answer 1

Esto es falso. Permita que $ |H|=3, |K|=2$ y $|H\cup K|=3+2-1=4$ si se trata de un subgrupo, contiene $H$, que significa que tiene un elemento de orden $3$, pero Lagrange dice que esto es imposible.

Answer 2

Es falso. Tomar $G = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$, $H = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\times \{0\}$ y $K = \{0\} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$.

Answer 3

Considerar el $G=(\Bbb{Z}_{10},+)$. Que $H=\{0,5\}$ y $K=\{0,2,4,6,8\}$. Entonces $H\cap K = \{0\}$. $H\cup K$ no es un subgrupo de $G$.

Answer 4

Nota: qué $G=(\Bbb{Z}_{6},+)$. ¿Que $H=\{0,3\}$ y $K=\{0,2,4\}$? Entonces también es $H\cap K = \{0\}$ $H\cup K$ no un subgrupo de $G$ desde $H\cup K = \{0,2,3,4\}$ no es cerrado bajo adición.