Demuestra que la suma de dos conjuntos compactos en $\mathbb R^n$ es compacta.

Question

Dados dos conjuntos $S_1$ y $S_2$ en $\mathbb R^n$ define su suma como $$S_1+S_2=\{x\in\mathbb R^n; x=x_1+x_2, x_1\in S_1, x_2\in S_2\}.$$ Demuestra que si $S_1$ y $S_2$ son compactos, entonces $S_1+S_2$ también es compacto.

Demuestra que la suma de dos conjuntos compactos en $\mathbb R^n$ es compacto.

Un conjunto compacto es aquel que es acotado y cerrado. La unión finita de conjuntos cerrados es cerrada. Pero la unión no es la misma que la definida en la tarea. No sé cómo proceder. Entiendo que necesito mostrar que el conjunto resultante es tanto acotado como cerrado, pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

$f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, $f(x,y) = x+y$ es continua y

$S_1 + S_2 = f[S_1 \times S_2]$.

$S_1 \times S_2$ es compacto por Tychonoff, por ejemplo

Answer 2

Otra forma de demostrar esto es usar la compacidad secuencial: supongamos que $y_n = x_n + x_n'$ es una secuencia en la suma. Entonces hay una subsecuencia de $(x_n)$ que converge en $S_1$, digamos $(x_{n_j})$, y luego hay una subsecuencia de $(x_{n_j}')$ que converge en $S_2$, digamos $(x_{n_{j_l}}')$. Entonces ciertamente $y_{n_{j_l}}$ es una subsecuencia de $(y_n)$ que converge en $S_1+S_2.

Answer 3

Como $S_1$ y $S_2$ están acotados, cada elemento en estos conjuntos también está acotado. Es decir, existen $M_1 , M_2 > 0$ tales que: $$ \left\lVert x_1 \right\rVert \leq M_1 \textrm{ and } \left\lVert x_2 \right\rVert \leq M_2 , \forall x_1 \in S_1 , \forall x_2 \in S_2 . $$ Por lo tanto, para cualquier $x \in S$, es decir, existe $x_1 \in S_1$ y $x_2 \in S_2$, tenemos $$ \left\lVert x \right\rVert \leq \left\lVert x_1 \right\rVert + \left\lVert x_2 \right\rVert \leq M_1 + M_2 $$ y así S está acotado.

De manera similar para la cerradura. Para cualquier secuencia $\left\lbrace x_{n} \right\rbrace _{n \geq 0} \in S$, existen dos secuencias $\left\lbrace x_{1,n} \right\rbrace _{n \geq 0}$ y $\left\lbrace x_{2,n} \right\rbrace _{n \geq 0}$, que convergen a algún $x_{1,*} \in S_{1}$ y $x_{2,*} \in S_{2}$, respectivamente ya que pertenecen a algunos conjuntos compactos, tales que $x_{n} = x_{1,n} + x_{2,n}$, y por lo tanto $$ x_{n} \to x_{1,*} + x_{2,*} $$ lo cual pertenece a $S$.