Cuando la lectura de los prólogos de los muchos libros dedicados a la teoría de las desigualdades, he encontrado una cosa declarado en repetidas ocasiones: las Desigualdades se usa en todas las ramas de las matemáticas. Pero en serio, ¿qué tan importantes son? Habiendo acabado estándar del estudiante de primer curso de cálculo, apenas he utilizado alguna vez, incluso, el más célebre de las desigualdades, como la de Cauchy-Schwarz desigualdad. Sé que esto es debido al hecho de que todavía no he profundizado en el campo de la más avanzada de las matemáticas, así que me gustaría saber cuán importantes son. Mientras que estas desigualdades están usualmente relacionados con un conjunto finito de números, supongo que debe ser generalizado para encajar en temas como análisis. ¿Puede dar algunos ejemplos para ilustrar cómo las desigualdades se utilizan en los más avanzados de matemáticas?
Respuestas
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Las desigualdades son extremadamente útiles en matemáticas, especialmente cuando tratamos con cantidades que no sabemos exactamente a qué se igualan demasiado. Por ejemplo, supongamos $p_n$ $n$- ésimo número primo. Nosotros no tenemos la hermosa fórmula para $p_n$. Sin embargo, sabemos que $p_n \leq 2^n$. A menudo, uno puede resolver un problema matemático, mediante la estimación de una respuesta, en lugar de escribir exactamente lo que es. Esta es una manera en que las desigualdades son muy útiles.
Hay un montón de desigualdades en el que las matemáticas son más o menos importantes, de una lista se puede ver aquí.
No es sencillo establecer un rango de importancia para ellos, pero creo que la más importante es la desigualdad de triángulo. En la forma más simple de esta desigualdad se establece que, para cualquier triángulo, la suma de las longitudes de dos lados debe ser mayor que o igual a la longitud de la parte restante. Esta captura un carácter fundamental de la noción de la distancia, que está de acuerdo con nuestra intuición en el espacio euclidiano. Pero se puede generalizar a más espacios abstractos (como los espacios de funciones en análisis funcional), de modo que, también en estos espacios podemos definir una noción de distancia.
Para demostrar que el triángulo de la desigualdad en estos espacios tenemos algunas otras desigualdades y los más relevantes son el Titular y Minkowski las desigualdades que se utilizan para probar que en un espacio vectorial se puede definir una norma, y, a partir de esta norma, una distancia.
Tengo la sensación de que lo que realmente buscamos son ejemplos de "famoso" desigualdades poner en buen uso y no sólo la noción de desigualdad como un general atttribute.
Para que, si nos atenemos a la noción de desigualdad en general, un excelente ejemplo de por qué es esencial en la definición de la línea real.
Dedekind cortes que definen los reales son particiones de la orden de campo $\Bbb{Q}$. Si usted no tiene un orden (la desigualdad de las relaciones entre sus miembros, no se puede definir la $\Bbb{R}$ de esta manera.
Para un ejemplo de una desigualdad como una "fórmula" , considerar la $LM$-desigualdad, utilizado en el análisis complejo, que da una cota superior para el contorno de un integral, teniendo así una gran variedad de aplicaciones.
Si f es un complejo de valores, función continua en el contorno de $\Gamma$, la longitud del arco de $\Gamma$ $l(\Gamma)=L$ y el valor absoluto de $f$, $|f(z)|$ está delimitado por una constante $M$ $\forall$ $z$ en $\Gamma$, entonces se cumple que
$$\int_\Gamma|f(z)|dz\leq ML$$
Creo que son más importantes debido a los límites. Estoy seguro de que usted ha hecho de los límites en su clase de cálculo. Los límites son muy importantes en matemáticas no solo se utiliza para definir derivadas e integrales.
Hay toda una rama de las matemáticas llamada análisis que se ocupa de los límites. En algún momento en el siglo 18, los matemáticos tratado de entender el cálculo de forma más rigurosa y vino para arriba con una definición formal de límite.
$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \ s.t. |a_n - a| < \varepsilon $
(En palabras simples, si usted tiene una secuencia de números de decir $ \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{7}{8}, \dfrac{15}{16}...$ que tienden a un número (1 en el ejemplo anterior), después de un cierto punto ($N$) de todos los puntos dentro de un cierto rango ($\varepsilon$) del límite.)
Debido a esto, el análisis es todo acerca de las desigualdades - incluyendo el triángulo de la desigualdad y la de Cauchy-Schwartz. Son muy útiles.
Hay otros lugares como en las Ciencias de la computación, al definir el orden de crecimiento de un algoritmo (Big-O la notación), y de la Investigación de Operaciones que se utilizan para poner ciertas limitaciones a la maximización/minimización de los problemas, por ejemplo, encontrar la mejor cartera de inversiones, teniendo en cuenta que usted puede en la mayoría de invertir $1000. (Este último requiere un buen conocimiento de la probabilidad teórica - que es básicamente el análisis y las desigualdades.)
