$$f(z)=\frac 1{\cos(z^4)-1}$$
$z=0$ es un polo de $f$, y creo que el de la serie de Laurent centrada en$0$$-\frac 2{z^8}-\frac 16+...$, que se ve como el polo de orden $8$, pero ¿por qué Wolfram Alpha afirmación de que el polo es de orden $2$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Estás en lo correcto. Y Wolfram parece estar de acuerdo.
Por expansión de Taylor $\cos z=1-z^2/2+O(z^4)$, por lo que $$ \cos(z^4)-1=-\frac{z^8}{2}+O(z^{16})=-\frac{z^8}{2}(1+o(1)). $$ Por lo tanto $$ f(z)=\frac{1}{\cos(z^4)-1}=\frac{1}{-\frac{z^8}{2}(1+o(1))}=-\frac{2}{z^8(1+o(1))}\sim-\frac{2}{z^8} $$ Por lo $\lim_0 z^8f(z)=-2\neq 0$. Esto significa que $g(z)=z^8f(z)$ es holomorphic en $0$ (en un barrio de $0$)$g(0)=-2$. Así un poder de expansión de la serie de $g$ producirá un Laurent expansión de $f$, empezando por $-\frac{2}{z^8}$.
De hecho, $0$ es un polo de $f$ orden $8$.
Dean Turner
Puntos
11
El orden de los polos es el número de elementos en la finitos (!) parte principal de la serie de Laurent de la función (o el mayor poder negativo). Tiene 4 polos (resolver la ecuación $(\cos \left(z^4\right)-1)$: $\left\{\left\{x\to -\sqrt[4]{2 \pi } \left(\sqrt[4]{n}\right)\right\},\left\{x\to -i \sqrt[4]{2 \pi } \sqrt[4]{n}\right\},\left\{x\to i \sqrt[4]{2 \pi } \sqrt[4]{n}\right\},\left\{x\to \sqrt[4]{2 \pi } \sqrt[4]{n}\right\}\right\}$. Si expande la función inicial en Laurent serie que obtendrá (por ejemplo, para la última raíz): $\frac{5 \left(z-\sqrt[4]{2 \pi }\right)}{32 \sqrt[4]{2} \pi ^{9/4}}+\frac{3}{16\ 2^{3/4} \pi ^{7/4} \left(z-\sqrt[4]{2 \pi }\right)}+\frac{1}{16 \left(\sqrt{2} \pi ^{3/2}\right) \left(z-\sqrt[4]{2 \pi }\right)^2}+\left(-\frac{1}{6}-\frac{19}{128 \pi ^2}\right)+O\left(\left(\text{z}-\sqrt[4]{2 \pi }\right)^2\right)$ El fin de este polo es de 2. Se puede concluir que usted tiene 4 polos, cada uno con el fin de 2. Así que supongo que Wolfram Alpha es correcta :).
