Digamos que tenemos dos polígonos con diferentes números de lados. Pueden tener cualquier tipo de forma, pero tienen que tener la misma área y perímetro.
Podría haber tales posibilidades, pero ¿puede alguien mostrarme con fotos? Sólo necesito visualizarlo.
A veces en la vida sólo tienes que saberlo, y a veces necesitamos que se nos muestre una imagen en la cara :).
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└───┘ └───┘Edición: Me gustan las cifras anteriores porque son fáciles de generalizar a muchos lados. Pero si no está claro que tengan la misma área, aquí hay otro par: los tetrominós L y T.
Puedes imaginar que deslizas el cuadrado de la derecha hacia arriba y hacia abajo en relación con la barra de 1x3 de la izquierda; esta operación preserva tanto el área como el perímetro. Explícitamente, ambos tetrominós tienen área 4 y perímetro 10. La L tiene 6 lados, y la T tiene 8 lados.
@oconnor0 Corta un cuadrado de 2x2 de la parte superior de la primera figura y ponlo en la "muesca" que queda. Puedes hacer lo mismo con el rectángulo de 2x1 de la parte superior de la segunda figura.
Para cualquier triángulo existe un rectángulo con la misma área y perímetro.
Prueba: por la fórmula de Herón el área del triángulo con semiperímetro $S$ y los lados del triángulo $a,b,c$ es $$\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}\leq \sqrt{\frac{8S^4}{27}}$$
Un cuadrado con semiperímetro $S$ tiene área $\frac{S^2}{4}\geq\sqrt{\frac{8S^4}{27}}$ .
Podemos entonces proceder a convertir el cuadrado en un rectángulo, haciendo que el área sea cada vez más pequeña conservando el perímetro. Hasta que el área sea tan pequeña como la del triángulo.
De hecho estoy seguro de que para cualquier n<m y cualquier n-gon podemos encontrar un m-gon con la misma área y perímetro que el n-gon, pero no puedo demostrarlo
Sólo he elaborado un ejemplo rápido, por lo que los números pueden no ser óptimos: tomemos un triángulo con longitudes de lado 2,3,4 - esto tiene perímetro 9 y área $3\sqrt{15}/4$ . También es bastante fácil construir un rectángulo con estos datos, resolviendo las ecuaciones $st = 3\sqrt{15}/4$ y $2s+2t = 9$ . De hecho, las longitudes de los lados $s,t$ del rectángulo resultan ser $\frac{1}{4}(9 \pm \sqrt{81-12\sqrt{15}})$ .
Un triángulo 3-4-5 tiene perímetro 12 y área 6, el rectángulo correspondiente satisface $x(6-x)=6$ o $x^2 - 6x + 6 = 0$ . Por la fórmula cuadrática, $x = 3 \pm \sqrt{3}$ , por lo que un $3 + \sqrt{3}$ por $3 - \sqrt{3}$ rectángulo funcionará.
Podría ser mejor clonar la primera forma, pero voltear uno de los sub-triángulos (horizontalmente en este caso) para que los lados de la línea de puntos todavía se toquen completamente. De este modo, será más evidente que el perímetro es exactamente el mismo, sin necesidad de hacer cálculos.
¡@chao en realidad, esa era mi construcción original, pero de alguna manera me convencí de que tenían el mismo número de lados! Gracias por rescatar la idea de mi lapsus :)
Aquí están Polígonos de Gordon-Webb-Wolpert tienen algo más que el área y el perímetro común, ¡son isoespectrales! Los tambores con su forma sonarían igual. Es un ejercicio divertido construir más ejemplos utilizando tangram piezas.
Se pueden encontrar más polígonos isoespectrales aquí incluyendo los que tienen diferente número de lados.
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