La transformación de la Ley para la Derivada Covariante en $SU(2)$ Yang-Mills

Question

En la página 488 de Peskin y Schroeder, se afirma (el énfasis es mío):

No es difícil comprobar la utilización de (15.27) y (15.21) que, incluso para finito de transformaciones, la derivada covariante tiene la misma transformación de la ley como el campo en el que actúa.

Yo estaba tratando a efecto de verificar que.

Esto es lo que he intentado:

1. $V\left(x\right)\in SU\left(2\right)^{\mathbb{R}^4}$
2. $\psi\left(x\right)\mapsto V\left(x\right)\psi\left(x\right)$.
3. $D_\mu\left(x\right)\equiv\partial_\mu-igA_{\mu,\,j}\left(x\right)\frac{\sigma^j}{2}$.
4. $igA_{\mu,\,j}\left(x\right)\frac{\sigma^j}{2}\mapsto V\left(x\right)igA_{\mu,\,j}\left(x\right)\frac{\sigma^j}{2}\left[V\left(x\right)^\dagger\right]-V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)^\dagger\right]\right\}$

Por lo tanto:

\begin{align} D_\mu\left(x\right)\psi\left(x\right) \mapsto & \left\{\partial_\mu -V\left(x\right)igA_{\mu,\,j}\left(x\right)\frac{\sigma^j}{2}\left[V\left(x\right)^\dagger\right]+V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)^\dagger\right]\right\}\right\}V\left(x\right)\psi\left(x\right) = \\\ &= \left[\partial_\mu V\left(x\right)\right]\psi\left(x\right)+V\left(x\right)\partial_\mu\psi\left(x\right)-V\left(x\right)igA_{\mu,\,j}\left(x\right)\frac{\sigma^j}{2}\psi\left(x\right)+V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)\dagger\right]\right\}V\left(x\right)\psi\left(x\right) = & \\\ &= V\left(x\right)D_\mu\left(x\right)\psi\left(x\right)+\left\{\left[\partial_\mu V\left(x\right)\right] + V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)\dagger\right]\right\}V\left(x\right)\right\}\psi\left(x\right) \end{align}

Por lo que tengo entendido, $\boxed{\left[\partial_\mu V\left(x\right)\right] + V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)\dagger\right]\right\}V\left(x\right)\stackrel{?}{=}0}$ debe ser igual a cero.

Para demostrar que he utilizado el hecho de que $VV\dagger=1$:

\begin{align} \partial_\mu\left[ V\left(x\right)\right] + V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)\dagger\right]\right\}V\left(x\right) &= \\ \partial_\mu\left[ V\left(x\right)1\right] + V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)\dagger\right]\right\}V\left(x\right) &= \\ \partial_\mu\left[ V\left(x\right)V\left(x\right)^\dagger V\left(x\right)\right] + V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)\dagger\right]\right\}V\left(x\right) &= \\ \left[\partial_\mu V\left(x\right)\right]V\left(x\right)^\dagger V\left(x\right) +V\left(x\right)\left[ \partial_\mu V\left(x\right)^\dagger \right]V\left(x\right) +V\left(x\right)V\left(x\right)^\dagger\left[ \partial_\mu V\left(x\right)\right] + V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)\dagger\right]\right\}V\left(x\right) &= \\2\left\{\partial_\mu\left[ V\left(x\right)\right] + V\left(x\right)\left\{\partial_\mu\left[V\left(x\right)\dagger\right]\right\}V\left(x\right)\right\}\end{align}

Es que este todo correcto?

Answer 1

He encontrado esta pregunta, mientras que luchan con el mismo problema. La solución resulta ser bastante simple. Esto funciona para cualquier grupo gauge $G$, con elementos de $g(x),\ g^{-1}(x),$$e$. $$ 0 = \partial_\mu(e) = \partial_\mu (gg^{-1}) = (\partial_\mu g) g^{-1} + g \partial_\mu g^{-1} $$ así $$ \partial_\mu g = - g (\partial_\mu g^{-1}) g $$ En su caso $g=V$$g^{-1}=V^\dagger$, por lo que este le da el resultado que estás buscando.