La evaluación de la primitiva $\int \frac{\mathrm dx}{e^{2x} + e^x + 1} $

Question

Podría alguien ayudarme a evaluar esto? $$\int \frac{\mathrm dx}{e^{2x} + e^x + 1} $$ Traté de resolverlo durante horas sin éxito. Traté de Wolframalpha, pero dando un paso a paso de la solución que es demasiado larga que en un examen que aun no tienen el tiempo para escribir la solución.

Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $u = e^x$. A continuación, $du = e^x\,dx$ o, de manera equivalente, $dx = \frac{1}{u}du$. Por lo tanto, la integral se convierte en: $$\begin{align} \int\frac{dx}{e^{2x}+e^x+1} &= \int\frac{du}{(u^2+u+1)u}\\ &= \int\frac{du}{(u^2+u+1)u} \end{align}$$ Ahora, lo golpeó con fracciones parciales: $$\begin{align} \frac{1}{(u^2+u+1)u} &= \frac{Au+B}{u^2+u+1} + \frac{D}{u}\\ &=\frac{Au^2+Bu+Du^2+Du+D}{(u^2+u+1)u}\\ &=\frac{(A+D)u^2+(B+D)u+D}{(u^2+u+1)u} \end{align}$$ Por lo tanto: $$A+D = 0\\ B+D = 0\\ D = 1$$

Así, la integral es: $$\int\frac{du}{(u^2+u+1)u} = \underbrace{\int \frac{-u-1}{u^2+u+1} du}_{\text{integral 1}} + \underbrace{\int \frac{1}{u}du}_{\text{integral 2}}$$

Integral de la $2$ es trivial, así que no voy a escribir. Para la integral de la $1$, se aplica la sustitución de $w = u^2+u+1$, lo $dw = (2u + 1)du$. $$\begin{align} \int \frac{-u-1}{u^2+u+1} du &= \frac{-1}{2}\int \frac{2u+1}{u^2+u+1}du + \frac{-1}{2}\int\frac{1}{u^2+u+1}du\\ &= \frac{-1}{2}\int \frac{1}{w}dw - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + u+1}du\\ &= \frac{-1}{2}\ln|w| - \frac{1}{2} \underbrace{\int \frac{1}{u^2 + u+1}}_{\text{integral 3}} \end{align}$$

Para la Integral de la $3$, podemos usar nuestro conocimiento de la derivada de la arcotangente. Tenemos: $$\begin{align} \int \frac{1}{u^2 + u+1}du &= \int \frac{1}{\left(u+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}du\\ &= \int \frac{1}{\left(\frac{u+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}/2}\right)^2 + 1}du\\ &= \int \frac{1}{\left(\frac{2u+1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1}du\\ &= \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2u+1}{\sqrt{3}}\right) +C \end{align}$$

Por lo tanto, nuestra respuesta es: $$\begin{align} \int\frac{dx}{e^{2x}+e^x+1} &= I_1 + \ln|e^x| \\ &= \frac{-1}{2}\ln|e^{2x}+e^x+1| - \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2e^x+1}{\sqrt{3}}\right) + x + C \end{align}$$

Answer 2

Sustituto $u=e^x,$, a continuación, utilizar fracciones parciales.

Answer 3

Sugerencia. Se puede calcular la integral de cualquier función racional de $e^x$ al hacer la sustitución de $u = e^x$.

Answer 4

\begin{align} u & = e^x \\ du & = e^x\,dx = u\,dx \\ du/u & = dx \end{align} $$ \int \frac{dx}{e^{2x}+e^x+1} = \int\frac{du/u}{u^2+u+1} $$ \begin{align} u^2+u+1 & = \left(u^2 + u + \frac14\right) + \frac34\quad \text{(completing the square)} \\[10pt] & = \left(u+\frac12\right)^2+\frac34 \\[10pt] & = \frac34\left(\frac43\left(u+\frac12\right)^2 + 1\right) \\[10pt] & = \frac32\left(w^2+1\right) \text{ where } w = \frac{2}{\sqrt{3}}\left(u+\frac12\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} (2u+1) \\[10pt] & {}\qquad\qquad\qquad\text{ and }u = \frac{\sqrt{3}\ w - 1}{2}. \end{align} De modo que la integral es $$ \int\frac{2\,dw}{(\sqrt{3}\ w-1)(w^2+1)} = \int \left(\frac{A\,dw}{\sqrt{3}\ w+1} + \frac{B\,dw}{w^2+1} \right). $$ Para que usted obtenga un logaritmo y un arco tangente. Por supuesto, usted tiene que hacer un poco de álgebra para averiguar lo $A$$B$.

Answer 5

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\down}{\downarrow}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ \begin{align} \color{#00f}{\large\int{\dd x \over \expo{2x} + \expo{x} + 1}}&= -\int{\overbrace{\expo{-x}}^{\ds{\equiv\ t}}\pars{-\expo{-x}\,\dd x} \over 1 + \expo{-x} + \expo{-2x}} =-\int{t\,\dd t \over t^{2} + t + 1} =-\int{t\,\dd t \over \pars{\overbrace{t + 1/2}^{\ds{\equiv\ y}}}^{2} + 3/4} \\[3mm]&=-\int{y\,\dd y \over y^{2} + 3/4} + \half\int{\dd t \over y^{2} + \pars{\root{3}/2}^{2}} \\[3mm]&=-\,\half\,\ln\pars{y^{2} + {3 \over 4}} + {\root{3} \over 3}\,\arctan\pars{{2\root{3} \over 3}\,y} \\[3mm]&=-\,\half\,\ln\pars{\bracks{t + \half}^{2} + {3 \over 4}} + {\root{3} \over 3}\,\arctan\pars{{2\root{3} \over 3}\,\bracks{t + \half}} \\[3mm]&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\color{#00f}{\large -\,\half\,\ln\pars{\expo{-2x} + \expo{-x} + 1} + {\root{3} \over 3}\,\arctan\pars{{2\root{3} \over 3}\,\bracks{\expo{-x} + \half}}} \\[3mm]&+\ \mbox{a constant} \end{align}