Hay un abrir mapa de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}^2$? Supongo que no-existencia, se puede derivar del hecho de que $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2$ localidad no homeomórficos, pero no puede escribir un riguroso argumento. Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias!
Respuestas
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user87023
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1
Sí, la componen los siguientes:
- Los Conway base 13 de la función $\mathbb R\to\mathbb R$, que los mapas de cada intervalo abierto en $\mathbb R$
- Un surjection $\mathbb R\to\mathbb R^2$
Adam Malter
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96
Chris Culter la respuesta demuestra que no existe un mapa. Sin embargo, es imposible que un mapa sea continuo. En efecto, supongamos $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ es continua y abierta. A continuación, $U=f((0,1))$ está abierto en $\mathbb{R}^2$, e $f([0,1])$ es compacto y, por tanto, cerrado y acotado en $\mathbb{R}^2$. De ello se desprende que $U$ es limitado y $f([0,1])$ es de su cierre, por lo que el límite de $U$ debe estar contenido en $f(\{0,1\})$. Pero cualquiera no vacío acotado abrir subconjunto de $\mathbb{R}^2$ debe contener más de dos puntos de límite (de hecho, una cantidad no numerable). Por ejemplo, arreglar cualquier punto de $p\in U$; luego por el acotamiento de $U$, en cada línea a través de $p$ debe contener al menos dos puntos de límite de $U$ (uno en cada lado de la $p$).
