Número primo entre $n$ y $n!+1$

Question

Estoy tratando de demostrar que ( $\forall \ n\in\mathbb{N}$ ) existe un número primo $q$ tal que $n < q \le 1 + n!$

He hecho un gráfico con $n=0$ a través de $n=10$ y encontré soluciones a todas ellas buscando un patrón y veo que $n!$ se hace enorme rápidamente y resulta bastante obvio que hay un número primo entre ellos.

He considerado tratar de demostrar por contradicción que $q$ no existe en ese intervalo, pero no sé a dónde ir desde esa afirmación. ¿Alguien podría ayudarme a resolverlo? Llevo horas mirándolo y no consigo saber a dónde ir.

Gracias.

http://mathforum.org/library/drmath/view/62825.html

Answer 1

Una pista: $n!+1$ tiene algún factor primo $p$ . Si $p \leq n$ entonces $p\mid n!$ .

Answer 2

SUGERENCIA:
Utilice el El postulado de Bertrand.
Desde $n!\ge 2n$ para todos $n\ge 3$ tenemos el resultado.

Answer 3

Todos los primos que dividen $n!$ dar el resto $1$ cuando se dividen $n!+1$ . Estos incluyen todos los primos de $1$ a $n$ . Así que, o bien $n!+1$ es a su vez un primo, o es divisible por un primo $>n$ y por supuesto $\le n!+1$ .

Answer 4

Para $n=1$ y $n=2$ la condición se mantiene.

Así que para demostrar la afirmación supongamos $n>2$ . Ahora, para cada número entero $x$ tal que $1<x<(n+1),$ tenemos $x|n!$ y $x\not|(n!-1).$

$\therefore$ o bien $(n!-1)$ es un primo, o $\exists$ una prima $p\ge (n+1) $ tal que $p|(n!-1)$ .

Así que en cualquier caso, $\exists$ una prima $p$ tal que $(n+1)\le p\le (n!-1)$ .

$\therefore$ $\exists$ un número primo $p$ tal que $n<p1+n!$ $\hspace{.2cm}$$ para todos los casos en los que hay una base de datos.

Answer 5

Caso 1) si n=1,2,3 entonces $q=2,3,7$

Caso 2) para otros n, $2n< n! $ Ahora sabemos $\exists q$ prime s.t $n<q<2n<1+n!$

Por lo tanto, hemos terminado.