Estoy buscando soluciones a la siguiente pregunta de la Olimpiada Matemática Británica:
Supongamos que $ABCD$ es un cuadrado y que $P$ es un punto que está en el círculo inscrito en el cuadrado. Determina si es posible o no que $PA$ , $PB$ , $PC$ , $PD$ y $AB$ son todos números enteros.
Primero supuse que $AB=2$ Por lo tanto, el radio de nuestro círculo $r=1$ por lo que tenemos la ecuación cartesiana del círculo:
$$x^{2}+y^{2}=1$$
Lo que nos da las ecuaciones paramétricas:
$$x=\cos{\theta} \\ y=\sin{\theta}$$
Por lo tanto, cualquier punto arbitrario $P$ en el círculo puede escribirse $P(\cos{\theta},\sin{\theta})$ para algunos $\theta\in[0,2\pi]$ . Como conocemos los vectores de posición de cada uno de los puntos $A(1,1)$ , $B(1,-1)$ , $C(-1,-1)$ y $D(-1,1)$ podemos encontrar los vectores:
$$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}\cos{\theta}-1 \\ \sin{\theta}-1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{BP}=\begin{pmatrix}\cos{\theta}-1 \\ \sin{\theta}+1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{CP}=\begin{pmatrix}\cos{\theta}+1 \\ \sin{\theta}+1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{DP}=\begin{pmatrix}\cos{\theta}+1 \\ \sin{\theta}-1\end{pmatrix}$$
Y por lo tanto, tenemos una expresión general para la norma euclidiana de estos vectores:
$$\|\overrightarrow{AP}\|=\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)} \\ \|\overrightarrow{BP}\|=\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)} \\ \|\overrightarrow{CP}\|=\sqrt{3+2\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)} \\ \|\overrightarrow{DP}\|=\sqrt{3+2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)}$$
De ello se desprende $\not\exists \theta \in [0,2\pi]$ tal que $\|\overrightarrow{AP}\|$ , $\|\overrightarrow{BP}\|$ , $\|\overrightarrow{CP}\|$ y $\|\overrightarrow{DP}\|$ son todas integrales. Sin embargo, no veo cómo demostrar que no hay $\theta$ de tal manera que todos ellos son racionales, y por lo tanto no puede terminar la prueba, por lo que es esta prueba salvable?
