Raíces de una potencia de la serie en un intervalo de

Question

Deje $ a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1} = 0 $

Demostrar que $ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n = 0 $ tiene raíces reales en el intervalo de $ (0,1) $

He encontrado este problema en un análisis real notas del curso, pero yo no sé ni cómo atacar el problema. Traté de afirmar que todos los coeficientes son cero, pero que es cleary no es cierto, tenemos muchos casos, cuando el resultado es 0 $ a_i \ne 0$ algunos $i$. He intentado derivar/integrar, aislar y sustituir algunos de los coeficientes de ($ a_0 $$a_n $ donde mis candidatos favoritos). Trabajo con factoriales (y derivados y factoriales) pero no podía encontrar una manera de probar. Tengo muchas páginas de inútiles a los arañazos.

Los consejos son bienvenidos.

Answer 1

Deje $f(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n$, $f(x)$ es una función continua en el intervalo $(0,1)$. Considere la posibilidad de \begin{align*} \int_0^1 f(x) \, dx & = \int_0^1 a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \, dx\\ & = a_0x + \frac{a_1x^2}{2} + \frac{a_2x^3}{3} + \cdots + \frac{a_nx^n}{n+1}\Bigg|_0^1\\ & = a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1}\\ & =0. \end{align*} Puesto que la integral se desvanece en el intervalo de $(0,1)$, por la continuidad de cualquiera de las $f$ debe ser tanto positivo como negativo, o de forma idéntica $0$ en el intervalo. En cualquier caso debe ser $0$ en algún punto en $(0,1)$.

Answer 2

Considere la función $f(x)=a_0x+ \frac{a_1}{2}x^2+\cdots + \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$. A continuación,$f(1)=0$, $f(0)=0$ es clara. Teorema de Rolle se muestra ahora hay $x \in (0,1)$ tal que $f'(x)=0$.

Answer 3

Como Alexey Burdin puntos, si integramos $f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$$0$$1$, se obtiene de la suma

$$ \int_{x=0}^1 f(x) \, dx = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} = 0 $$

Desde $f(0) = a_0$ $f(x)$ es continuo a través de los reales, $f(x) = 0$ sobre el intervalo de $(0, 1)$ o $f(x)$ debe ser negativo y positivo sobre algunas porciones del intervalo de $(0, 1)$; de cualquier manera, no existen raíces reales en el intervalo así.