Teorema del isomorfismo fundamental

Question

El FIT establece que si $\phi: G \rightarrow G'$ es un homomorfismo, entonces Im( $\phi$ ) $\cong$ $G$ /Ker( $\phi$ ).

Estoy tratando de descomponer este teorema en "trozos comprensibles". Ker( $\phi$ ) es el conjunto de todos los elementos de $G$ que se asigna a $0$ ; por lo tanto, esto significaría que $G$ /Ker( $\phi$ ) es igual a los cosets izquierdos de estos elementos de mapa cero.

Im( $\phi$ ) es la imagen del homomorfismo; pero, según la FIT, la imagen es isomorfa a los cosets izquierdos de Ker( $\phi$ ). ¿No significa esto que estas dos cosas son "equivalentes" (debido al isomorfismo)? ¿Esto traduciría que los cosets izquierdos de Ker( $\phi$ ) partición de la imagen de $\phi$ ? Si es así, ¿qué significa exactamente? ¿O no estoy en el camino correcto para entender este teorema? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Los cosets izquierdos de $\ker\phi$ No se hace una partición $\phi(G)$ porque $\ker \phi \subset G$ mientras que $\phi(G) \subset G'$ . Los cosets izquierdos de $\ker\phi$ y los elementos de $\phi(G)$ no son literalmente iguales. Pero la FHT te dice que $G/\ker\phi$ y $\phi(G)$ tienen la misma estructura de grupo y, por tanto, son esencialmente iguales.

Esta es una manera más esclarecedora de pensar en ello: Si $x,y \in G$ están en el mismo coset de $\ker\phi$ entonces $\phi(x) = \phi(y)$ . Y si $\phi(x) = \phi(y)$ entonces $x$ y $y$ están en el mismo coset de $\ker\phi$ . Por tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los cosets de $\ker\phi$ y elementos de $\phi(G)$ .

Answer 2

Definimos una relación de equivalencia $ \sim$ en $G$ de la siguiente manera:

$x \sim y$ si $xy^{-1} \in \ker( \phi)$ .

Denotamos la clase de equivalencia de $x \in G$ por $[x]$ . Entonces, defina $T: G/ \ker( \phi) \to Im( \phi)$ por $T([x])=\phi(x)$ .

Demuestra que $T$ está bien definida.

¿Puede ahora completar la prueba?