La acción de un subgrupo de índice finito en un árbol inducida por la acción de un grupo sobre un árbol

Question

Deje $G$ ser un grupo que actúa en un árbol de $\Gamma$. A continuación, $U$ actúa en $\Gamma$ por cada $U\leq G$.

Pregunta: ¿por Qué hace lo siguiente?

Si $|G:U|<\infty$. A continuación, el mínimo de $U$invariante en el subárbol de $\Gamma$ coincide con el mínimo de $G$invariante en el subárbol de $\Gamma$. (mínimo siempre con respecto a la inclusión)

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que no puede haber un mínimo de invariantes árbol. Usted tiene 3 casos:

(1) algunas de las $g\in G$ actos hyperbolically. A continuación, el mínimo invariante subárbol es el (convex hull) de los de la unión de los ejes de hiperbólico elementos y esto no cambia al pasar a un número finito índice de subgrupo.

(2) la acción es limitada. Entonces [edit: se me fue un poco impreciso acerca de este caso en mi primera respuesta] no existe un mínimo de árbol (una arista o un vértice), que puede no ser único. Más precisamente, si no hay ningún vértice fijo, el único mínima de árbol es una ventaja (que es mínima o no en la restricción a un número finito de índice del subgrupo); si hay un vértice fijo, fijo vértice es un mínimo de árbol (y, por supuesto, sigue siendo mínima para cada finito índice del subgrupo). El caso de un borde puede ser excluido si la acción es sin inversión (esto puede ser asumida por la adición de un vértice en el centro de cada borde).

Si $G$ es finitely generado, eso es todo. Pero de lo contrario hay:

(3) ("horocyclic" caso) la acción no tiene ningún hiperbólico elemento, pero es ilimitado (así no hay un único punto fijo en el infinito). Entonces no hay un mínimo de invariantes árbol para $G$ o de su finita índice de subgrupos.