El título es la pregunta: estoy tratando de entender el comportamiento de la serie
$$\star \qquad \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cos(n^2 x)}{n},\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad $$
donde $0\leq x \leq 1$. Todo lo que sé seguro es que converge condicionalmente en $x=0$ a un valor conocido (creo que es $-\ln 2$). Yo no sé ni cómo comprobar su convergencia para otros valores de $x$ (es posible calcular para ciertos racional múltiplos de $\pi$). He trazado la suma parcial de subir a $n=1000$ el uso de Arce y la suma parcial sólo va desde aproximadamente $-2.8$$0.4$. También parece continuo, pero muy irregular. Esto sugiere que la serie puede converger al menos pointwise a un continuo, en ninguna parte-differntiable función. El valor máximo del valor absoluto de la derivada de la 1000 suma parcial es acerca de $21249$, de acuerdo a Maple17 del Mamimize comando, pero soy sospechosa porque Arce dice que el máximo se produce en $x=0.2000002655$, sospechosamente cerca de $0.2$. Pero si la derivada de la 1000 suma parcial es realmente grande, se sugiere que si la serie converge a una función, la función podría ser la nada-continuo.
Me hizo buscar un poco en Google, buscando información en continuo, en ninguna parte-funciones diferenciables, con la esperanza de encontrar mi serie. Parece ser que hay un gran número de ellos que son bien conocidos. La más conocida de estas funciones parecen ser "de Weierstrass funciones", pero para que tales funciones el denominador es algo como $2^n$, que crece mucho más rápido que $n$. En http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf hay publicó una tesis sobre el continuo, en ninguna parte-funciones diferenciables. En la p. 23 de la .pdf (no del autor, número de página, pero el número de página de la .documento en pdf), el autor discute "de Riemann de la función", que se define por $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\sin(k^2 x)$. Esto es muy similar a la de mi serie, pero de nuevo el denominador decae más rápidamente que el que yo estoy pensando.
Así que, para hacer corta una larga historia, esto es lo que me gustaría saber:
Para qué valores de a$x$, $\star$ convergen?
Para qué valores de a$x$, $\star$ convergen absolutamente?
Si $\star$ converge para todos los $x$ (EDIT: NO: ver aceptada respuesta) , hace converger simplemente pointwise o uniforme? (ver respuesta)
Si $\star$ converge al menos pointwise (EDIT: NO: ver aceptada respuesta), donde es la resultante de la función diferenciable?
EDIT: he aceptado una excelente respuesta que responde a la mayoría de mis preguntas, y yo no unaccept. Sin embargo, todavía estoy un poco de curiosidad acerca de las respuestas completas a mi primera y segunda preguntas anteriores. Voy a upvote informativo, original de los comentarios y respuestas.
