Estoy diseñando un servicio web que encuentra la función de regresión de un patrón dentro de una imagen.
Analizé tres imágenes y encontré las siguientes tres regresiones:
1) $f(x) = 74.7602 + 0.2005x - 0.00091891x^2$ (dominio: 0 x 200)
2) $f(x) = 102.337 + 0.349x - 0.002x^2$ (dominio: 0 x 200)
3) $f(x) = 103.417 + 0.074x + x^2$ (dominio: -8 x 8)
Cuando estas funciones se trazan en un gráfico, las funciones 1 y 2 son más similares en forma. La función 3 es muy estrecha y es cóncava hacia arriba (mientras que las funciones 1 y 2 son cóncavas hacia abajo). ¿Cómo puedo comparar estas tres funciones y determinar matemáticamente que las curvas de las funciones 1 y 2 son más similares? No me importa dónde estén en el plano cartesiano, solo quiero saber si la forma es la misma.
Estaba pensando en lo obvio: introducir puntos y comprobar la similitud, sin embargo, esto no funcionará si la función tiene una escala diferente. ¿Sabes cómo debería comenzar?
P.D. Actualmente estoy tomando pre cálculo, así que si pudieras describir esto en mi nivel (si es posible), ¡se apreciaría mucho!
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¿Todas las funciones que vas a comparar serán parábolas (de la forma $a+bx+cx^2$)? Las diferencias que describes se deben tanto al signo como al valor del coeficiente de $x^2$ en tus funciones.
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@AlfonsoFernandez Sí, todas serán parábolas.
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@AlfonsoFernandez Entiendo cómo el coeficiente de $x^2$ juega un papel en la concavidad y anchura del gráfico, pero ¿qué hace el coeficiente de x?
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Cada parábola se puede reescribir en la forma $a(x-b)^2 + c$. Cuando está en esta forma, $c$ controla la elevación vertical de la parábola, $b$ controla su posición horizontal y $a$ es el coeficiente de $x^2$ como de costumbre. Así que si no te importan las traducciones, debes llevar tus parábolas a esa forma y comparar los $a$.