$\newcommand{\MCG}{\mbox{MCG}}$ Dejemos que $\alpha$ , $\beta$ sean curvas no isotópicas y no separadas en una superficie $S$ (lo que significa que "cortando a lo largo" no se desconecta la superficie). ¿Cómo demostramos que las torsiones de Dehn $D_{\alpha} , D_{\beta}$ son conjugados en $\MCG(S)$ ¿pero no son isotópicas entre sí? Sé que el grupo de clases de mapeo no es abeliano, y que $\MCG(S)$ está generada por giros de Dehn en torno a curvas esenciales ( $2g+1$ como el mejor posible cuando S tiene la frontera vacía). Tal vez podamos demostrar (después de mostrar que los giros son conjugados en $\MCG(S)$ ) que las curvas conjugadas en una curva no abeliana no pueden ser isotópicas? He estado repasando el libro de Casson y Bleiler, pero no encuentro la respuesta. Entonces, supongo que para demostrar $D_{\alpha}, D_{\beta}$ son conjugados, necesitamos encontrar una curva $\gamma$ para que $$D_{\alpha}=D_{\gamma}^{-1} D_{\beta} D_{\gamma} .$$
No sé lo suficiente sobre $\MCG(S)$ para averiguar cómo hacer esto. Además, no veo cómo mostrar $D_{\alpha}, D_{\beta}$ no son isotópicos. ¿Tal vez porque ambos son generadores (de clase) y generadores diferentes no son isotópicos?
¿Alguna idea, por favor?
