¿Por qué es $e^{a\pi i}\neq (-1)^a$?

Question

¿Por qué las siguientes afirmaciones incorrectas? Tengo problemas para entender mi error. $$e^{a\cdot \pi i} = e^{\pi i^a} = (-1)^a $$ $$e^{a\cdot 2\pi i} = e^{2\pi i^a} = (1)^a =1 $$

Las pistas que se agradece!

Answer 1

Tu error es creer que $(a^b)^c = a^{bc} = (a^c)^b$ es verdadera cuando los exponentes no son reales. No. O, si nos obligan a ser, entonces su argumento muestra que cada número distinto de cero es, en realidad,$1$. Sé el conjunto de consecuencias prefiero vivir con.

Answer 2

Voy a suponer que por $e^{2\pi i^a}$ que significaba $(e^{2\pi i})^a.$ Le parecen sugerir que desde $e^{2\pi i} = 1$ usted debe tener $e^{2\pi ia} = (e^{2\pi i})^a = 1^a = 1$ para cada valor de $a.$

El problema es que aunque las funciones exponenciales son de uno a uno las funciones cuando sus argumentos son reales, no son uno-a-uno con argumentos complejos, y eso molesta a estos habitual identidades. No es sólo al $b=1$ que uno puede tener $b^x=1.$

En uso convencional, $a^{b^{\,c}}$ $a^{\left( b^{\,c}\right)},$ $(a^b)^c.$