Semiadditivity y dualizability de 2

Question

Versión corta: Vamos (C, ⊗, 1) ser localmente presentable cerrado monoidal simétrica de la categoría con un objeto de cero, y escribir 2 = 1 ∐ 1. Supongamos que el objeto 2 tiene un doble. De lo anterior se sigue que C es una categoría con biproducts?

Versión más larga, con la motivación: Vamos a (C, ⊗, 1) ser localmente presentable cerrado monoidal simétrica categoría. Si usted no sabe lo que "localmente presentable" significa, usted puede reemplazar estas condiciones con "completa y cocomplete monoidal simétrica categoría en la que se ⊗ desplazamientos con colimits en cada una de las variables". Conocen ejemplos incluyen (Set, X, •), (Set_*, ∧, S⁰) (la categoría de punta se establece con el smash producto), y (Ab, ⊗, ℤ). Cualquier categoría C tiene una única "unidad" functor F_C : Set → C preservar colimits y el objeto de la unidad: el conjunto S es enviado a la subproducto en C de S copias de 1. Para un entero no negativo n, permítanme escribir n de la imagen bajo este functor de la n-elemento del conjunto. Por ejemplo, el 0 representa el objeto inicial de la C.

Un doble de un objeto X de C es otro objeto X^* junto con los mapas 1 → X ⊗ X^* y X^* ⊗ X → 1 que satisfacen las triangular identidades; véase wikipedia para obtener más detalles. Los datos de X^* junto con estos mapas es único hasta un único isomorfismo si es que existe, así que tiene sentido preguntarse si un objeto tiene un doble o no.

Estoy interesado en la relación entre los objetos de la imagen de F_C tienen dobles y de la existencia de más estructuras familiares en C. En nuestros ejemplos,

• C = Conjunto: Sólo 1 tiene un doble.
• C = Set_*: Sólo 1 y 0 = • tener duales.
• C = Ab: n tiene un doble para cualquier entero no negativo n.

Es fácil demostrar que 1 es siempre su propio doble, y un poco menos trivial, que 0 tiene una doble iff 0 es también un objeto final, es decir, C tiene un cero de objeto, o, equivalentemente, C se enriquece en Conjunto_*. Por otra parte, si C es la suma parcial, es decir, enriquecido en la conmutativa monoids, o, equivalentemente, ha biproducts, entonces n tiene un doble (de hecho, n es su propia dual) para cada entero no negativo n. Por el contrario, si 0 tiene un doble, por lo que C es señalado, y 2 también tiene un doble, entonces no es un canónica mapa 2 = 1 ∐ 1 → 1 × 1 = 2^*. Mi pregunta, entonces, es: ¿este mapa es siempre un isomorfismo? O, podría ocurrir que 2^* existe, pero no es isomorfo a 2 a través de este mapa?

Answer 1

Es cierto que en un cosmos $\mathcal{V}$ (= un completo y cocomplete monoidal simétrica cerrada categoría) con objeto de cero donde $2$ tiene un doble, la canónica mapa de $1+1 \rightarrow 1\times 1$ es invertible. En otras palabras, usted no tendrá que asumir que $\mathcal{V}$ a nivel local es presentable. Creo que esto implica que el cosmos en cuestión es de suma parcial, que a su vez implica que los co-productos/productos biproducts (la única cosa que uno necesita para observar es que $C\otimes 1\times 1 \cong C\times C$, lo que se deduce del hecho de que $1\times 1$ es el doble de $1+1$).

Demostrar esto es un poco demasiado complicado para MO (porque no hay una buena manera de dibujar diagramas de cadena de aquí). He escrito un argumento, el cual puede ser encontrado aquí. Yo primero probar que un autónomo monoidal simétrica categoría (autónomo significa que todos los objetos tienen dobles), donde el subproducto $1+1$ existe es de suma parcial.

Puedo intentar dar algo de intuición para el argumento en cuestión. La idea clave es que uno quiere construir una diagonal mapa de $1 \rightarrow 1+1$. La forma de hacerlo fue inspirado por el siguiente trabajo:

André Joyal, Ross Street y Dominic Verity (1996). Trazado monoidal categorías. Matemática Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 119 , pp 447-468 doi:10.1017/S0305004100074338

En mi valoración crítica, este "diagonal" mapa es el mapa $1\rightarrow 1+1$ en la cadena de diagramas de que la construcción de un "bucle" y el mapa de $1+1 \rightarrow (1+1) \otimes (1+1)$ que llamé $h$. A partir de la fórmula dada en la introducción del papel por Joyal, la Calle y la Verdad se sigue que mi construcción, de hecho da la diagonal mapa en el caso de que $\mathcal{V}$ es el cosmos de espacios vectoriales sobre algún campo.

Edit: actualizado el enlace caducado.