"Aritmética" de infinitos conjuntos de cardinalidad

Question

He estado trabajando en un problema y cuando miré a mi alrededor el sitio que yo no podía encontrar mucho que se parecía a lo que yo estaba tratando de resolver. Mi problema es el siguiente:

Deje $A$ ser un conjunto infinito y denotan la tarjeta ($A$)$\alpha$. Si $B$ es un conjunto infinito, denotan la tarjeta ($B$)$\beta$. Definir $\alpha\beta$ a de la tarjeta($A\times B$). Deje $B'$ ser un conjunto de disjunta de a $A$ de manera tal que la tarjeta de($B$)=card($B'$). Definir $\alpha+\beta$ a de la tarjeta ($A\cup B'$). Denotar por $B^A$ el conjunto de todos los mapas de $A$ a $B$, y denotan la tarjeta ($B^A$)$\beta^{\alpha}$. Deje $C$ ser un conjunto infinito y abreviar la tarjeta ($C$)$\gamma$.

Probar que (a). $\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma$.

Intento: Vamos a $f:A\times(B\cup C')\rightarrow(A\times B)\cup(A\times C')$ ser definido por $f(a,x)=(a,x)$ cuando la tarjeta de$(C')=$tarjeta de$(C)$ $C'$ es disjunta de a $B$. Supongamos que $f(a,x)=f(b,y)$. A continuación, $(a,x)=(b,y)$ $f$ es inyectiva. Ahora, si $(a,x)\in(A\times B)\cup(A\times C)$ $f(a,x)=(a,x)$ $f$ es surjective. Por lo tanto, $f$ es bijective y la afirmación es verdadera.

Mi proceso de pensamiento es que el $A\times(B\cup C')=(A\times B)\cup(A\times C')$ por lo que el mapa de identidad es un bijection que me da que las cardinalidades son los mismos.

(b) $\alpha\beta=\beta\alpha$

Intento: Vamos a $f:A\times B\rightarrow B\times A$ ser definido por $f(a,b)=(b,a)$. Ahora, supongamos que el $f(a,b)=f(c,d)$. A continuación, $(b,a)=(d,c)$ $(a,b)=(c,d)$ y llegamos a la conclusión de que $f$ es inyectiva. Ahora, si $(b,a)\in B\times A$ $f(a,b)=(b,a)$ $f$ es surjective. Por lo tanto, $f$ es bijective así que la afirmación es verdadera.

Este parece bastante claro para mí, aunque me será un placer aceptar cualquier crítica.

(c) $\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^{\beta}\alpha^{\gamma}$.

Intento: Vamos a $\phi:A^{B\cup C'}\rightarrow A^B\times A^{C'}$ ser definido por $\phi(\alpha)=(\beta,\delta)$ donde $\alpha:B\cup C'\rightarrow A$, $\beta:B\rightarrow A$, y $\delta:C'\rightarrow A$. Además, $(\beta,\delta)(x)=\beta(x)$ si $x\in B$ o $\delta(x)$ si $x\in C'$. Supongamos que $\phi(\alpha)(x)=\phi(\sigma)(x)$ donde $\phi(\sigma)=(\rho,\tau)$. A continuación, $(\beta,\delta)(x)=(\rho,\tau)(x)$ así que si $x\in B$ $\beta(x)=\rho(x)$ si $x\in C'$$\delta(x)=\tau(x)$. Por lo tanto, $\beta=\rho$ $\delta=\tau$ $\alpha=\sigma$ y llegamos a la conclusión de que $\phi$ es inyectiva. Ahora, si $(\beta,\delta)\in A^B\times A^{C'}$ $\phi(\alpha)(x)=(\beta,delta)(x)$ $\phi$ es surjective. Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

Admito que estoy un poco perdido en esto. He tratado de definir una función utilizando el dado definiciones, pero estoy confundido en tener un producto de dos conjuntos de mapas y cómo se relacionan.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Mi proceso de pensamiento es que el $A\times(B\cup C')=(A\times B)\cup(A\times C')$ por lo que el mapa de identidad es un bijection que me da que las cardinalidades son los mismos.

$\def\card{\operatorname{card}}$Sí, usted tiene que los conjuntos son idénticos, entonces sólo el uso de las definiciones que se han dado para mostrar la cardinalidad expresiones son iguales. $$X=Y \implies \card (X)=\card(Y)$$

Declair que $A',B',C'$ a de a pares distintos conjuntos con el mismo cardinalidades como $A, B, C$ respectivamente, es decir, $\alpha,\beta,\gamma$.

Tenemos por las definiciones: $~\card(A'\times(B'\cup C')) ~{=\card(A')\card(B'\cup C') \\= \card(A')(\card(B')+\card(C')) \\= \alpha(\beta+\gamma)}$

Asimismo, tiene : $~\card((A'\times B')\cup(A'\times C')) ~{=\card(A'\times B')+\card(A'\times C') \\= \card(A')\card(B')+\card(A')\card(C') \\= \alpha\beta+\alpha\gamma}$

Bueno, ya que los juegos son el mismo, las cardinalidades será igual, así: $\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma$.

$\Box$

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Que parece trivial, excepto que las cardinalidades no son números reales.$

Answer 2

No una respuesta completa, demasiado largo para un comentario.

Cuando escribo $\phi(\alpha) = (\alpha \mid_B, \alpha \mid_{C'})$, me refiero a que $\alpha : B \cup C' \to A$ $\phi(\alpha)$ es la tupla de funciones $\alpha \mid_B : B \to A$ y $\alpha \mid_{C'} : B \cup C' \to A$. Entonces tenemos $\alpha \mid_B(x) = \alpha(x)$ $x \in B$ y $\alpha \mid_{C'}(x) = \alpha(x)$ $x \in C'$.

La inversa se define como $\phi^{-1} (\beta, \gamma) (x) =\begin{cases} \beta(x), & x \in B \\ \gamma(x), & x \in C' \end{casos} $.

Sigue que $\phi:A^{B\cup C'}\rightarrow A^B\times A^{C'}$ es biyectiva.