Dejemos que $G$ sea un grupo con la propiedad de que en cada subconjunto de 4 elementos distintos, existe al menos un par de elementos conmutables. Demuestre que G es abeliano.
El teorema es incorrecto. El grupo de cuaterniones $Q_8$ es un contraejemplo, donde $Q_8 = \{1, i, j, k, -1, -i, -j, -k\}$ .
En este grupo, cada elemento conmuta con su negativo. También, $1$ y $-1$ viajar con todo. Por el principio de pidgeonhole, cada subconjunto de 4 elementos de $Q_8$ o bien contiene $1$ , $-1$ o tanto un elemento como su negativo. Por lo tanto, hay un par conmutador en cada subconjunto de 4 elementos de $Q_8$ .
Pero $Q_8$ es no abeliana, ya que $ij \ne ji$ .
Gracias a @DanielFisher por su ayuda.
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$xy = yx \iff x(yx) = (yx)x \iff x(xy)=(xy)x\iff (yx)y=y(yx)\iff (xy)y = y(xy)$ . $xy=yx\implies xyyx=yxxy$ y $xyyx=yxxy\implies...$ hmm, puede que tengas razón. Estaba asumiendo que los cálculos de Nick eran buenos.