¿Cuáles son los posibles factores primos de $3^n+2$ , donde $n$ es un número entero positivo?

Question

¿Cuáles son los posibles factores primos de $3^n+2$ , donde $n$ es un número entero positivo?

Está claro que un primer $p$ por lo que ni $-2$ ni $-6$ es un residuo cuadrático módulo $p$ no puede ser un factor primo de $3^n+2$ por lo que los primos congruentes con $13$ o $23$ modulo $24$ se puede descartar. Pero, ¿existe una simple condición necesaria y suficiente para que $p$ puede ser un factor primo de $3^n+2$ ?

Answer 1

Sólo una observación no es una respuesta completa . Para un primer $p>3$ , aplicando El pequeño teorema de Fermat $$2^p \equiv 2 \pmod{p}$$ y si hay un mínimo $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que ( $p$ - ¡impar! ): $$3^{n_0} \equiv -2 \pmod{p} \Rightarrow 3^{n_0\cdot p} \equiv (-2)^p \equiv -2 \pmod{p}$$ También $n_0<p-1$ , De lo contrario, $n_0=(p-1)\cdot q + r, 0\leq r < p-1$ y $$3^{n_0}=3^{(p-1)\cdot q + r}=3^{(p-1)\cdot q}\cdot 3^{r}\equiv 3^r \equiv -2 \pmod{p}$$ desde $3^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ . Por lo tanto, podemos buscar tal mininal $n_0$ en $\{0,1,2,..,p-1\}$ gama.

Por ejemplo para

• $p=5$ , $n_0=1$ porque $3 \equiv -2 \pmod{5} \Rightarrow 3^{5^k} \equiv -2 \pmod{5}$ .
• $p=7$ , $n_0=5$ porque $3^5 \equiv -2 \pmod{7} \Rightarrow 3^{5\cdot7^k} \equiv -2 \pmod{7}$ .
• $p=11$ , $n_0=2$ porque $3^2 \equiv -2 \pmod{11} \Rightarrow 3^{2\cdot11^k} \equiv -2 \pmod{11}$ .
• $p=13$ no existe tal $n_0$

Answer 2

COMENTARIO.-Lo que doy aquí ES UNA RESPUESTA . Sin embargo, lo publico como un comentario porque tal vez no es como los lectores esperan.

Está claro que $p\ne 2,3$ Dejemos que $p|(3^n+2)$ por lo que se tiene en el campo primario $\mathbb F_p$ la igualdad
$$3^n+2=0\iff3^n+3=1\iff3(3^{n-1}+1)=3^{p-1}\iff \color{red}{3^{n-1}+1=3^{p-2}}$$ En particular, $3$ debe ser la inversa de $3^{n-1}+1$ en el campo $\mathbb F_p$ $$\text{ EXAMPLES}$$

$$►n=6\Rightarrow3^6+2=17\cdot43\Rightarrow3^{5}+1=244 =\begin{cases}6=3^{15}\text{ in }\mathbb F_{17}\\29=3^{41}\text{ in }\mathbb F_{43}\end{cases}$$

$$►n=12\Rightarrow3^{12}+2=11\cdot48313\Rightarrow3^{11}+1=177148 =\begin{cases}4=3^{9}\text{ in }\mathbb F_{11}\\32209=3^{48311}\text{ in }\mathbb F_{48313}\end{cases}$$

NOTA: He puesto $32209=3^{48311}\text{ in }\mathbb F_{48313}$ al final sólo calculando $177148$ módulo del primo $48313$ $32209$ y dando por cierta (¡debería ser cierta!) la igualdad.