Asimetría del logaritmo de una variable aleatoria de gamma

Question

Considere la variable aleatoria gamma $X\sim\Gamma(\alpha, \theta)$. No están ordenadas las fórmulas para la media, varianza y asimetría:

\begin{align} \mathbb E[X]&=\alpha\theta\\ \operatorname{Var}[X]&=\alpha\theta^2=1/\alpha\cdot\mathbb E[X]^2\\ \operatorname{Skewness}[X]&=2/\sqrt{\alpha} \end{align}

Considere ahora un registro de transformadas variable aleatoria $Y=\log(X)$. Wikipedia ofrece fórmulas para la media y la varianza:

\begin{align} \mathbb E[Y]&=\psi(\alpha)+\log(\theta)\\ \operatorname{Var}[Y]&=\psi_1(\alpha)\\ \end{align}

a través de la digamma y trigamma funciones que se definen como la primera y la segunda derivados del logaritmo de la función gamma.

¿Cuál es la fórmula para la asimetría?

Se tetragamma función aparecen?

(Lo que me hizo pensar acerca de esto es una elección entre logarítmico-normal y gamma de distribuciones, vea Gamma vs distribuciones lognormal. Entre otras cosas, difieren en sus asimetría propiedades. En particular, la asimetría de la sesión de la lognormal es trivialmente igual a cero. Mientras que la asimetría del registro de rayos gamma es negativo. Pero, ¿cómo negativos?..)

Answer 1

I. cálculo Directo

Gradshteyn & Ryzhik [1] (secta 4.358, 7ª ed) lista explícita de formas cerradas para $$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$$ for $p=2,3,4$ while the $p=1$ case is done in 4.352 (assuming you regard expressions in $\Gamma \psi$ and $\zeta$ functions as closed form) -- from which it is definitely doable up to kurtosis; they give the integral for all $p$ as a derivative of a gamma function so presumably it's feasible to go higher. So skewness is certainly doable but not especially "neat".

Details of the derivation of the formulas in 4.358 are in [2]. I'll quote the formulas given there since they're slightly more succinctly stated and put 4.352.1 in the same form.

Let $\delta= \psi(a)-\ln \mu$. Entonces:

\begin{align} \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^2\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^2+\zeta(2,a) \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^3\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^3+3\zeta(2,a)\delta-2\zeta(3,a) \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^4\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^4+6\zeta(2,a)\delta^2-8\zeta(3,a)\delta + 3\zeta^2(2,a)+6\zeta(4,a)) \right\} \end{align}

donde $\zeta(z,q)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q)^z}$ es la zeta de Hurwitz función (la de Riemann zeta función es el caso especial $q=1$).

Ahora, en los momentos de registro de una variable aleatoria gamma.

Señalar en primer lugar que en la escala logarítmica de la escala o de la tasa parámetro de la gamma, densidad, es simplemente un cambio de parámetros, por lo que no tiene impacto en la central momentos, podemos tomar cualquiera de los dos que estamos usando para que sea 1.

Si $X\sim \text{Gamma}(\alpha,1)$ $$E(\log^{p}\!X) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty \log^{p}\!x\, x^{\alpha-1} e^{-x} \,dx.$$

We can set $\mu=1$ in the above integral formulas, which gives us raw moments; we have $E(Y)$, $E(Y^2)$, $E(Y^3)$, $E(Y^4)$.

Since we have eliminated $\mu$ from the above, without fear of confusion we're now free to re-use $\mu_k$ to represent the $k$-th central moment in the usual fashion. We may then obtain the central moments from the raw moments via the usual formulas.

Then we can obtain the skewness and kurtosis as $\frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}$ and $\frac{\mu_4}{\mu_2^{2}}$.

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A note on terminology

It looks like Wolfram's reference pages write the moments of this distribution (they call it ExpGamma distribution) in terms of the polygamma function.

By contrast, Chan (see below) calls this the log-gamma distribution.

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II. Chan's formulas via MGF

Chan (1993) [3] gives the mgf as the very neat $\Gamma(\alpha+t)/\Gamma(\alpha)$.

(A very nice derivation for this is given in Francis' answer, using the simple fact that the mgf of $\log(X)$ is just $E(X^t)$.)

Consequently the moments have fairly simple forms. Chan gives:

$$E(Y)=\psi(\alpha)$$

y el central momentos como

\begin{align} E(Y-\mu_Y)^2 &= \psi'(\alpha) \\ E(Y-\mu_Y)^3 &= \psi''(\alpha) \\ E(Y-\mu_Y)^4 &= \psi'''(\alpha) \end{align}

y así la asimetría es $\psi''(\alpha)/(\psi'(\alpha)^{3/2})$ y la curtosis es $\psi'''(\alpha)/(\psi'(\alpha)^{2})$. Presumiblemente, las fórmulas anteriores he expuesto debería simplificar a estos.

Muy bien, R ofrece digamma ($\psi$) y trigamma ($\psi'$) de funciones, así como, más en general polygamma función de donde se selecciona el orden de la derivada. (Un número de otros programas ofrecen convenientes funciones.)

Por consiguiente, podemos calcular la asimetría y la curtosis muy directamente en R:

skew.eg <- function(a) psigamma(a,2)/psigamma(a,1)^(3/2)
kurt.eg <- function(a) psigamma(a,3)/psigamma(a,1)^2

Intentar un par de valores de a ($\alpha$ en el anterior), reproducimos las primeras filas de la tabla al final de la Sec 2.2 en Chan [3], con la excepción de que el aplanamiento de los valores de la tabla se supone que el exceso de curtosis, pero yo sólo calcula la curtosis por las fórmulas dadas anteriormente por Chan; estos deben diferir por 3.

(E. g. para el registro de una exponencial, la tabla dice que el exceso de curtosis es de 2.4, pero la fórmula para $\beta_2$ $\psi'''(1)/\psi'(1)^2$ ... y que es de 2.4.)

Simulación confirma que a medida que aumentamos el tamaño de la muestra, la curtosis de un registro de una exponencial es convergente para todo 5.4 no 2.4. Parece que la tesis posiblemente tiene un error.

En consecuencia, Chan fórmulas para central momentos parecen ser en realidad las fórmulas para el cumulants (véase la derivación de Francisco de respuesta). Esto significaría entonces que la asimetría de la fórmula era correcta es; porque el segundo y el tercer cumulants son iguales a los de segundo y tercer central momentos.

Sin embargo, estos son particularmente convenientes fórmulas siempre y cuando se mantenga en mente que kurt.eg está dando el exceso de curtosis.

Referencias

[1] Gradshteyn, I. S. & Ryzhik I. M. (2007), Tabla de Integrales, Series y Productos, 7ª ed.
Academic Press, Inc.

[2] Victor H. Moll (2007)
Las integrales en Gradshteyn y Ryzhik, Parte 4: La función gamma
SCIENTIA Serie: Ciencias Matemáticas, Vol. 15, 37-46
La Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile
http://129.81.170.14/~vhm/FORM-PROOFS_html/final4.pdf

[3] Chan, P. S. (1993),
Un estudio estadístico de los registros de la distribución gamma,
De la Universidad de McMaster (Tel. D. tesis)
https://macsphere.mcmaster.ca/bitstream/11375/6816/1/fulltext.pdf

Answer 2

El momento de generación de la función $M(t)$ $Y=\ln X$ es útil en este caso, ya que tiene una simple forma algebraica. Por la definición de m.g.f., tenemos $$\begin{aligned}M(t)&=\operatorname{E}[e^{t\ln X}]=\operatorname{E}[X^t]\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^\alpha}\int_0^\infty x^{\alpha+t-1}e^{-x/\theta}\,dx\\ &=\frac{\theta^{t}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty y^{\alpha+t-1}e^{-y}\,dy\\ &=\frac{\theta^t\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}.\end{aligned}$$

Vamos a comprobar la expectativa y la varianza se dio. Tomando derivados, tenemos $$M'(t)=\frac{\Gamma'(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t+\frac{\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln(\theta)$$ and $$M''(t)=\frac{\Gamma''(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t+\frac{2\Gamma'(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln(\theta)+\frac{\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln^2(\theta).$$ Hence, $$\operatorname{E}[Y]=\psi^{(0)}(\alpha)+\ln(\theta),\qquad\operatorname{E}[Y^2]=\frac{\Gamma''(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}+2\psi^{(0)}(\alpha)\ln(\theta)+\ln^2(\theta).$$ It follows then $$\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{E}[Y^2]-\operatorname{E}[Y]^2=\frac{\Gamma''(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}-\left(\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\right)^2=\psi^{(1)}(\alpha).$$

Para encontrar la asimetría, tenga en cuenta la cumulant de generación de función (gracias @probabilityislogic por la punta) es $$K(t)=\ln M(t)=t\ln\theta+\ln\Gamma(\alpha+t)-\ln\Gamma(\alpha).$$ The first cumulant is thus simply $K'(0)=\psi^{(0)}(\alpha)+\ln(\theta)$. Recall that $\psi^{(n)}(x)=d^{n+1}\ln\Gamma(x)/dx^{n+1}$, so the subsequent cumulants are $K^{(n)}(0)=\psi^{(n-1)}(\alpha)$, $n\geq2$. The skewness is therefore $$\frac{\operatorname{E}[(Y-\operatorname{E}[Y])^3]}{\operatorname{Var}(Y)^{3/2}}=\frac{\psi^{(2)}(\alpha)}{[\psi^{(1)}(\alpha)]^{3/2}}.$$

Como una nota del lado, esta distribución particular, parecían haber sido minuciosamente estudiado por A. C. Olshen en sus Transformaciones de la Pearson Tipo III de Distribución, Johnson et al.'s Continua Univariado de las Distribuciones también tiene una pequeña pieza sobre ella. Verificación de aquellos.