Grupos con grupos de automorfismo dados

Question

Es fácil demostrar que todos los grupos finitos con al menos tres elementos tienen al menos un automorfismo no trivial; en otras palabras, sólo hay -hasta el isomorfismo- un número finito de grupos finitos $G$ tal que $Aut(G)=1$ (para ser exactos, sólo dos: $1$ y $C_2$ ).

¿Es cierta una afirmación análoga para todos los grupos finitos? Es decir, dado un grupo finito $A$ ¿existen -de nuevo hasta el isomorfismo- sólo un número finito de grupos $G$ con $Aut(G)\cong A$ ?

En caso afirmativo, ¿existe un límite superior en el número de tales grupos $G$ dependiendo de una propiedad de $A$ (por ejemplo, su orden)?

Y si no, ¿qué grupos surgen como contraejemplos?

Y por último, ¿cómo es la situación de los grupos infinitos $G$ con un grupo de automorfismo finito dado? ¿Y qué pasa si los grupos de automorfismo infinitos $A$ ¿se consideran?

Answer 1

Ledermann y B.H.Neumann ("On the Order of the Automorphism Group of a Finite Group. I", Proc. Royal Soc. A, 1956) han demostrado lo siguiente:

Teorema. Dejemos que $n > 0$ . Existe un límite $f(n)$ de manera que si $G$ es un grupo finito con $|G| \geq f(n)$ entonces $|\operatorname{Aut}(G)| \geq n$ .

Una consecuencia inmediata es que, hasta el isomorfismo, sólo hay un número finito de grupos finitos $G$ con $|\operatorname{Aut}(G)| \leq n$ . Por lo tanto, para cualquier grupo finito $X$ hasta el isomorfismo, sólo hay un número finito de grupos finitos $G$ con $\operatorname{Aut}(G) \cong X$ .

Entre los grupos infinitos esto ya no es cierto, y de hecho hay infinitos grupos $G$ con $\operatorname{Aut}(G) \cong \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ .

Luego está, por supuesto, la cuestión de determinar todos los grupos finitos $G$ con un grupo de automorfismo dado $\operatorname{Aut}(G) \cong X$ . Para ello, véase por ejemplo

Iyer, Hariharan K. Sobre la resolución de la ecuación Aut(X)=G. Rocky Mountain J. Math. 9 (1979), no. 4, 653-670.

Este documento da una solución al problema en algunos casos, y determina, por ejemplo, todos los $G$ con $\operatorname{Aut}(G) \cong S_n$ . También hay una prueba diferente del hecho de que sólo hay un número finito de grupos con un grupo de automorfismo dado (Teorema 3.1 allí).

Answer 2

La bonita respuesta de Mikko se refiere a los grupos finitos $G$ . Permítanme responder aquí para grupos infinitos $G$ (pero todavía grupos de automorfismo finitos, como en la pregunta).

El panorama es, en efecto, muy diferente:

Para $A=C_2$ cíclico, existen incontables grupos no isomorfos (abelianos contables) $G$ con $\mathrm{Aut}(G)\simeq C_2$ .

De hecho, para $I$ un conjunto de primos, sea $B_I$ sea el subgrupo aditivo de $\mathbf{Q}$ generado por $\{1/p:p\in I\}$ . Entonces $B_I$ y $B_J$ son isomorfas si y sólo si la diferencia simétrica $I\triangle J$ es finito, y $\mathrm{Aut}(B_I)=\{1,-1\}$ (ejercicio fácil: más generalmente para un subgrupo no nulo $B$ de $\mathbf{Q}$ su grupo de automorfismo es $\{t\in\mathbf{Q}^*:tB=B\}$ actuando por multiplicación).

También se obtiene el grupo $C_2^n$ ( $n\ge 1$ ) de forma similar. Digamos, para $n=2$ , elija $I,J$ de manera que ambos $I\smallsetminus J$ y $J\smallsetminus I$ son infinitos: entonces $\mathrm{Aut}(B_I\times B_J)\simeq C_2\times C_2$ .

En general, si un grupo $G$ tiene un grupo de automorfismo finito $A$ , entonces su centro tiene índice finito en $G$ porque $G/Z(G)$ se incrusta en $A$ . Un resultado bien conocido implica entonces que $[G,G]$ es finito.

Además, se deduce que si $A$ es cíclica de orden impar, deducimos que $G/Z(G)$ es cíclico, y por lo tanto $G$ es abeliana, y entonces $G$ tiene que ser un abeliano elemental finito $2$ -grupo, y luego $G=1$ o $G\simeq C_2$ De ahí que $A=1$ . En otras palabras, para ningún grupo (finito o infinito) $G$ , $\mathrm{Aut}(G)$ es cíclico de orden impar $>1$ .]

---

Un ejemplo más para mencionar que se obtienen grupos no abelianos: dejemos $F$ sea un grupo finito. Entonces para cada grupo abeliano sin torsión $B$ , $\mathrm{Aut}(B\times F)$ es un producto semidirecto $(\mathrm{Aut}(F)\times\mathrm{Aut}(B))\ltimes\mathrm{Hom}(B,Z(F))$ . Si $\mathrm{Aut}(B)=\{\pm 1\}$ entonces el $\mathrm{Aut}(B)$ -acción sobre $\mathrm{Hom}(B,Z(F))$ es trivial y esto se reduce al producto $\mathrm{Aut}(B\times F)=(\mathrm{Aut}(F))\ltimes\mathrm{Hom}(B,Z(F))\times\mathrm{Aut}(B)$ . Para $B=B_I$ tenemos $\mathrm{Hom}(B_I,Z(F))\simeq Z(F)$ . Por ejemplo, para $F=C_2$ se obtiene $\mathrm{Aut}(B_I\times C_2)\simeq C_2^2$ . El grupo no abeliano más pequeño que podemos obtener de esta manera tiene orden 12, es decir, para $F=C_3$ o $F=D_6$ (grupo diedro de orden 6), se obtiene $\mathrm{Aut}(B_I\times F)\simeq D_6\times C_2$ . Para $F=C_4$ se obtiene $\mathrm{Aut}(B_I\times C_4)\simeq D_8\times C_2$ .

No sé si podemos obtener abelianos $\mathrm{Aut}(B_I\times F)$ cuando $|F|\ge 3$ . Esto se cumple si y sólo si $\mathrm{Aut}(F)$ es abeliana y actúa trivialmente sobre $F$ . Entonces $F$ es no abeliana, de clase de nilpotencia 2. Posiblemente algunos grandes $p$ -Los grupos de trabajo satisfacen este requisito (véase Jain-Rai-Yadav (enlace arXiv) para un debate sobre los grandes $p$ -grupos con grupos de automorfismo abelianos; sin embargo, no indican si se pueden elegir para que los automorfismos sean triviales en el centro).