¿Es$\sin(2x)=x$ solucionable?

Question

($x \in \mathbb{R}$) Gráficamente, es obvio que la ecuación debe tener 3 soluciones para x, pero no puedo pensar en alguna forma de solucionar esto sin tener que recurrir a la computación de [la serie de Maclaurin para $\sin(2x)$]$\div x$ o algunos con más inteligencia computacional truco.

Yo consideraba que representan a $\sin(2x)$ $\left(1-\frac{x}{\frac{1}{2} \pi}\right)\left(1+\frac{x}{\frac{1}{2} \pi}\right)\left(1-\frac{x}{\frac{2}{2} \pi}\right)\left(1+\frac{x}{\frac{2}{2} \pi}\right)...$, pero que parece demasiado intimidante para ser de cualquier uso.

Edit: Nota de que estoy buscando una manera de encontrar la exacta respuesta (es decir, no sólo una aproximación), o una prueba de que es imposible encontrar.

Answer 1

Existen tres soluciones, como es evidente por los gráficos de $x$ y $\sin (2x)$.

Una solución trivial es $0$.

Las otras dos soluciones, $S_1$ y $S_2=-S_1$, que no tienen primaria formas cerradas, pueden obtenerse con suficiente exactitud con el método de Newton (u otro algoritmo de búsqueda de la raíz).

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x+\frac{x-\sin (2x)}{2\cos(2x)-1}$$

donde le dará la opción de $x_0$ una de las tres soluciones diferentes.

Answer 2

Qué tal $$x = \frac{\pi}{2} \mathrm{sinc}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$$ que se define $\mathrm{sinc}$ por $$\mathrm{sinc}(u) = \frac{\sin (\pi u)} {\pi u}.$$