Recíproca de la expectativa

Question

Deje que $X$ ser una variable aleatoria. ¿Alguna vez es cierto que $$E \left ({ \frac 1 X} \right ) \stackrel {?}{=} \frac 1 {E(X)} \text { ?}$$

Asumiré $X$ nunca toma el valor de $0$ .

Usaré la anotación para las casas rodantes discretas, de lo contrario reemplazaré $ \sum $ con $ \int $ . Deje que $f$ ser la función de masa/densidad.

$$E \left ({ \frac 1 X} \right ) = \sum \frac 1 x f(x)$$

$$ \frac 1 {E(X)} = \frac 1 { \sum x f(x)}$$

Supongamos que son iguales. Entonces..:

$$ \sum \frac 1 x f(x) = \frac 1 { \sum x f(x)}$$

$$ \implies \left ( \sum \frac 1 x f(x) \right ) \left ( \sum xf(x) \right ) = 1$$

Este es un tipo de convolución, lo que significaría que $$ \dfrac {f(x)}{x} = (x f(x))^{-1}$$

en relación con esta convolución. ¿Es eso posible? ¿Las funciones tienen inversiones bajo la convolución?

Answer 1

Por la desigualdad de Jensen podemos mostrar que para una variable aleatoria de valor positivo $X$ , $$E(X) \ge\frac {1}{E \left ( \frac {1}{X} \right )}$$ que se desprende del hecho de que $g(x)= \dfrac {1}{x}$ es convexo para $x>0$ . La igualdad se mantiene precisamente cuando $X$ es constante con la probabilidad $1$ . La desigualdad anterior puede ser vista como un AM $\, \ge\ ,$ La versión HM de las variables aleatorias.

Considere la variable aleatoria discreta $X$ teniendo la función de la masa $f$ de tal manera que $f(-1)= \frac {1}{9}, f( \frac {1}{2})=f(2)= \frac {4}{9}$ . Entonces es fácil verificar que efectivamente $E(X)= \dfrac {1}{E \left ( \frac {1}{X} \right )}=1$ .