$\def\Hom{\mathrm{Hom}}$Deje $k$ ser un campo, $A$ $k$- álgebra y deje $M$ $N$ $A$- módulos, finito dimensionales más de $k$. Deje $K$ ser una extensión de $k$, lo $A \otimes K$ $K$- álgebra y $M \otimes K$ $N \otimes K$ $A \otimes K$ módulos.
Me gustaría decir que, si $M \otimes K \cong N \otimes K$,$M \cong N$.
Al $k$ es infinito, hay una muy fáciles de la prueba. El $K$-espacio vectorial $\Hom_{A\otimes K}(M\otimes K, N \otimes K)$ es simplemente $\Hom_{A}(M,N) \otimes K$. Decir $M \cong N$ significa que existe una matriz en la $\Hom_{A}(M, N)$ con determinante distinto de cero. Si el polinomio $\det( \ )$ es distinto de cero en algún lugar después de la ampliación de escalares, entonces ya es distinto de cero sobre $k$.
Pero, a través de un campo finito, este argumento está roto. Si $M$ $N$ fueron dimensión$3$$k = \mathbb{F}_2$, e $\Hom(M,N)$ consistió en esas matrices de la forma $\left( \begin{smallmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & x-y \end{smallmatrix} \right)$, luego esta matriz es singular para cualquier $(x,y) \in k^2$, pero en los campos de la extensión puede ser invertible.
Sin embargo, creo que tiene un argumento que la afirmación es verdadera para un finito campos así. Alguien ha visto a esta declaración antes? Hay una sencilla prueba de que me perdí?
