¿Cuál es la relación entre $\int f(x) \, dx$y $\int 1/f(x) \, dx$?

Question

Muchos problemas de integración se haría tan fáciles si sólo se nos permitió trabajar con el recíproco de una función. ¿Hay una manera de relacionarse con $\int f(x) \, dx$ y $\int 1/f(x) \, dx$? ¿Qué tal si tuvieras límites de integración? Gracias.

P.D. Si no hay ninguna relación, es lo probado que no existe relación o alguien no encuentra todavía?

Answer 1

Desde $x\mapsto 1/x$ es convexa cuando se $x\gt0$, por la Desigualdad de Jensen $$ \frac1{b-a}\int_a^b\frac1{f(x)}\mathrm{d}x\ge\frac1{\frac1{b-a}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x} $$ al $f\gt0$, lo que implica $$ \int_a^b\frac1{f(x)}\mathrm{d}x\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\ge(b-a)^2 $$ Buscando en la anterior desigualdad, también se desprende directamente de Hölder la Desigualdad.

Answer 2

Aquí está un sentido preciso en el que ninguna relación es de esperarse: $\displaystyle \int\log(x)\,dx$ puede ser fácilmente calculada, y se encontró que ser $x\log(x)-x+C$. Por otro lado, $\displaystyle \int\frac{dx}{\log(x)}$ no es primaria, es decir, no admite la forma cerrada de la expresión en términos de funciones elementales. (Una buena referencia para este es Bronstein del libro en la integración Simbólica.) Esto es para decir que, en general, usted no va a encontrar una "utilidad" de la expresión para $\int F(x)\,dx$ en términos de $\int dx/F(x)$, o viceversa.

Del mismo modo, podemos dar ejemplos en los que una integral definida converge mientras que el otro se aleja, así que no hay ninguna "utilidad" de la relación en el sentido de las integrales definidas. (Se puede fácilmente mostrar las desigualdades relacionadas con ellas, a pesar de que, por ejemplo, el uso de Cauchy-Schwarz, o como en robjohn la respuesta.)

Answer 3

Si $F(x) = \int f(x)\,dx$ y $G(x) = \int dx/f(x)$, entonces la relación entre ellos es: $$ f ' G'(x) = 1. $$ Si este es de ninguna utilidad (como i sospechoso), entonces tal vez necesite especificar lo que no significa "ninguna relación".

Answer 4

Tenga en cuenta que $x\gt0$, el mínimo de $x+\frac1x$ $2$; es decir, $$ x + \frac1x 2 = \left (\sqrt {x}-\frac1 {\sqrt {x}} \right) ^ 2\ge0 $$ por lo tanto, obtenemos para $f\gt0$, \int_a^b\frac1{f(x)}\mathrm{d}x+\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\ge2(b-a) $$ $$