Explicación de la hipótesis de la prueba

Question

$(x+y)^r < x^r + y^r$ siempre que $x$ y $y$ son números reales positivos y $r$ es un número real con $0 < r < 1$ .

En la solución dice que es seguro suponer que $x+y=1$ . No veo ninguna razón... ¿Por qué es seguro suponer $x+y=1$ ? En caso afirmativo, ¿cómo ayuda esto a demostrar esta afirmación?

Gracias.

Answer 1

Es seguro porque se pueden dividir ambos lados de la desigualdad por $(x+y)^r$ sustituya $x'=\frac{x}{x+y}, y'=\frac{y}{x+y}$ y tienen la misma desigualdad con $x'+y'=1$ . Parece que ayuda haciendo que el LHS sea $1$ pero sin ver la prueba es difícil comentar más sobre cómo ayuda.

Answer 2

Ahora que sabe por qué podemos suponer que $x+y=1$ vamos a plantear el problema de una forma ligeramente distinta, que espero que ayude a comprenderlo mejor. Queremos demostrar que $(x+y)^r <x^r+y^r$ . Como todo es positivo, esto equivale a demostrar que el cociente $(x^r+y^r)/(x+y)^r$ es mayor que $1$ .

Pero observe que $$\frac{x^r+y^r}{(x+y)^r}=\frac{x^r}{(x+y)^r}+\frac{y^r}{(x+y)^r}=\left(\frac{x}{x+y}\right)^r + \left(\frac{y}{x+y}\right)^r.$$

Cada uno de los números $x/(x+y)$ y $y/(x+y)$ es positivo y menor que $1$ .

Si $t$ es positivo y menor que $1$ y $r<1$ alors $t^r>t$ . Así $$\left(\frac{x}{x+y}\right)^r >\frac{x}{x+y}\qquad\text{and}\qquad \left(\frac{y}{x+y}\right)^r>\frac{y}{x+y},$$ y por lo tanto $$\left(\frac{x}{x+y}\right)^r + \left(\frac{y}{x+y}\right)^r>\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}=1,$$ que es lo que necesitábamos probar.

El hecho de que si $0<t<1$ y $r<1$ alors $t^r>t$ es más o menos necesario para completar la prueba que supone que $x+y=1$ aunque también existen enfoques de cálculo. Por tanto, el enfoque de dos variables no es más difícil que el de una variable, pero evita la parte potencialmente desconcertante de "sin pérdida de generalidad".

Comentario sobre la configuración $x+y=1$ : Sea $F(x,y)=(x+y)^r$ y $G(x,y)=x^r+y^r$ . Tenga en cuenta que $F(ax,ay)=(ax+ay)^r =a^r(x+y)^r=a^rF(x,y)$ . Tenga en cuenta también que $G(ax,ay)=a^rG(x,y)$ . Decimos que cada una de las funciones $F(x,y)$ y $G(x,y)$ es homogéneo de grado $r$ . La noción se extiende fácilmente a funciones de más variables. Muchas de las desigualdades más famosas se refieren a funciones homogéneas. Un ejemplo sencillo es la desigualdad de la media aritmética y la media geométrica en tres variables, $$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$$ (si $x$ , $y$ y $z$ son no negativos). En este ejemplo, las funciones son homogéneas de grado $1$ .

El hecho de que en nuestro caso, $F(x,y)$ y $G(x,y)$ son homogéneas del mismo grado es la verdadera razón por la que podemos, sin pérdida de generalidad, suponer que $x+y$ es cualquier cosa que nos guste. Para tener en cuenta que si $a$ es positivo, entonces $$F(ax,ay)<G(ax,ay)\qquad\text{iff}\qquad a^rF(x,y)<a^rG(x,y)\qquad\text{iff}\qquad F(x,y)<G(x,y).$$

Si hemos establecido la desigualdad siempre que $x+y=1$ multiplicando cada uno de $x$ y $y$ por $c^{1/r}$ podemos obtener la desigualdad para cualquier $x,y$ tal que $x+y=c$ .

Comentario sobre el $r$ -enésima potencia : ¿Qué hacemos? media cuando escribimos $t^r$ digamos que para $t>0$ ? Esto es bastante más complicado de lo que parece. Tenemos una idea clara de lo que entendemos por $t^2$ o $t^5$ . Después de un tiempo, desarrollamos una comprensión de lo que queremos decir con algo como $t^{3/4}$ . Pues existe un único número positivo tal que $s^4=t$ y entonces podemos definir $t^{3/4}$ ser el $s^3$ .

Después de un tiempo, podemos demostrar que familiar el leyes de los exponentes que funcionaban para potencias enteras, también funcionan para expresiones de la forma $x^{p/q}$ donde $p$ y $q$ son números enteros.

Sin embargo, ¿qué media por ejemplo $3^{\sqrt{2}}$ ? Ciertamente no es $3$ multiplicado por sí mismo $\sqrt{2}$ ¡tiempos!

Hay varios enfoques para nuestro dilema. Uno es observar que $\sqrt{2}\approx 1.41421356$ y piensa en $3^{1.4}$ , $3^{1.41}$ , $3^{1.414}$ , $3^{1.4142}$ etc. Todo esto tiene sentido, porque los exponentes se pueden expresar como fracciones. Pero, intuitivamente, estos números se acercan cada vez más a algo y definimos $3^{\sqrt{2}}$ ser ese algo.

Sin embargo, es más eficaz definir en primer lugar las funciones $e^x$ y $\ln x$ y, a continuación, defina $t^r$ como $e^{r\ln t}$ . Entonces no es difícil demostrar que las conocidas leyes de los exponentes funcionan para cualquier exponente real $r$ .

Comentario sobre la resolución de problemas : La desigualdad original tenía simetría entre $x$ y $y$ . Especialización al caso $x+y=1$ nos permite convertir el problema en un problema de una variable, aunque con cierta pérdida de simetría. En este caso, la ganancia probablemente merezca la pena, aunque este post realmente ha tratado de demostrar que la misma idea puede llevarse a cabo sin romper la simetría.

El beneficio de pasar a una variable es principalmente psicológico. Debido a la forma en que se imparte la enseñanza de las matemáticas, hemos visto problemas de una variable con mucha más frecuencia que problemas de dos variables. Pero en muchas situaciones, es útil preservar la simetría tanto como sea posible.