Hay información disponible acerca de la distribución de cuyas $n$th cumulant está dado por $\frac 1 n$? El cumulant de generación de función es de la forma $$ \kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx. $$ He corrido a través de ella como la limitación de la distribución de algunas variables aleatorias pero no he sido capaz de encontrar cualquier información sobre él.
Respuesta
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El conocimiento de los valores de la cumulants nos permite tener una idea de cómo la gráfica de esta distribución de probabilidad se verá. La media y la varianza de la distribución es
$$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$$
mientras que su asimetría y exceso de curtosis coeficiente de
$$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$$
$$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$$
Por lo que este podría ser un familiar de aspecto gráfico de un positivo de la variable aleatoria exhibiendo conoce como asimetría positiva. Como para encontrar la distribución de probabilidad, un artesano del enfoque podría ser para especificar un genérico de distribución de probabilidad discreta, que toma valores en $\{0,1,...,m\}$, con las probabilidades correspondientes a $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$, y, a continuación, utilizar la cumulants para calcular las primas de los momentos, con el propósito de formar un sistema de ecuaciones lineales con las probabilidades de ser las incógnitas. Cumulants están relacionados con la cruda por momentos $$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$$ Resuelto por la primera de cinco crudos momentos de la da (el valor numérico al final es específico para el cumulants en nuestro caso) $$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align} $$ Si nosotros (momentáneamente) set $m=5$ tenemos el sistema de ecuaciones
$$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align} $$
Por supuesto, no queremos que $m$ a ser igual a $5$. Pero aumentando gradualmente $m$ (y obtener el valor de los momentos subsecuentes), debemos, finalmente, llegar a un punto donde la solución para las probabilidades de estabilizarse. Este enfoque no se puede hacer a mano, pero no tengo ni el software de acceso, ni los conocimientos de programación necesarios para llevar a cabo tal tarea.
