Si rango (A) = traza (A) = 1 que es una proyección

Question

Sea A una matriz cuadrada compleja. Supongamos que rango (A) = traza (A) = 1. Demostrar que A es una proyección.

No tengo ni idea de cómo comprobarlo, por lo que será agradecido por cualquier ayuda.

Answer 1

Matrices de rango 1 tienen la forma $A=vw^T$. Tenga en cuenta que $\operatorname{tr}(vw^T)=w^Tv$. Por lo tanto $$A^2=vw^Tvw^T=v\cdot 1\cdot w^T=A.$ $

Answer 2

Sugerencia: elegir una base que contiene un vector de la imagen de $A$, y anote lo que forman la matriz debe tomar en base a eso. Entonces ver qué $A^2$.

Answer 3

Sugerencias:

(1) $A$ es una proyección $\iff$ $A^2=A$

(2) si $\text{rank}(A)=1$, entonces el $Ae_i=\lambda_i v$ % todo $1\leq i\leq n$($e_i$ denota la base canónica del espacio vectorial de dimensión igual al número de columnas el número de filas de $A$)

(3) si $v=\sum_{i=1}^{n} a_ie_i$, entonces ¿cuál es el rastro de $A$ dado (2) en términos de $a_i,\lambda_i$ $1\leq i\leq n$?

Espero que esto te sirva!