Demuestre que SO(2) es isomorfo con el grupo de círculos complejos

Question

Para mi estudio de matemáticas tengo que demostrar que $SO(2)$ es isomorfo con el grupo de círculos complejos. Algunos pasos de esta prueba son un poco difíciles para mí, así que espero que me puedan ayudar.

Con $SO(2)$ Me refiero al grupo de todas las rotaciones $\rho_{x}$ en $\mathbb{R^{2}}$ con $x$ el ángulo de rotación alrededor del origen. Con $U_{1}$ Me refiero al grupo de círculos complejos, así que $U_{1}$ = { $z \in \mathbb{C}: |z| = 1$ }.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

He definido $f: SO(2) \to U_{1}$ con $f(\rho_{x}) = e^{2\pi ix}$ y se ha demostrado que es un homomorfismo y que es suryente. Así que lo único que tengo que hacer es demostrar que $f$ está bien definida y es inyectiva. Para la inyectividad, he llegado hasta aquí:

Supongamos que $f(\rho_{x}) = f(\rho_{y})$ $\Rightarrow$ $e^{2\pi ix} = e^{2\pi iy}$ $\Rightarrow$ $x - y \in \mathbb{Z}$

¿Cómo tengo que completar la prueba de inyectividad y demostrar que $f$ ¿está bien definido?

Gracias de antemano.

Answer 1

Alternativamente, se puede demostrar esto, evitando la comprobación manual de la buena definición, utilizando el Primer Teorema de Isomorfismo.

En primer lugar, observe para concretar (es decir, para facilitar la escritura de ciertos mapas más adelante) que:

1. El elemento en $SO(2)$ que corresponde a la rotación (en sentido contrario a las agujas del reloj) por $x$ revoluciones (equivalentemente, $2 \pi x$ radianes) puede escribirse como la matriz de rotación $$\begin{pmatrix}\cos 2 \pi x & -\sin 2\pi x\\ \sin 2 \pi x& \cos 2 \pi x\end{pmatrix};$$ en particular, la representación tiene la característica de que la multiplicación de grupos en $SO(2)$ es sólo (la restricción de) la multiplicación de matrices.
2. Cualquier elemento en $U_1 \subset \mathbb{C}$ puede escribirse como $$e^{2 \pi i x} = \cos 2 \pi x + i \sin 2\pi x.$$

Esto sugiere una correspondencia $$\begin{pmatrix}\cos 2 \pi x & -\sin 2\pi x\\ \sin 2 \pi x& \cos 2 \pi x\end{pmatrix} \leftrightarrow e^{2 \pi i x} = \cos 2 \pi x + i \sin 2\pi x.$$

Ahora formalizamos esta idea: Definir un mapa $F: \mathbb{R} \to SO(2)$ por $$F : x \mapsto \begin{pmatrix}\cos 2 \pi x & -\sin 2\pi x\\ \sin 2 \pi x& \cos 2 \pi x\end{pmatrix};$$ se puede demostrar fácilmente que es suryente, y utilizando las identidades habituales de suma de ángulos se demuestra que es un homomorfismo. Ahora, $\ker F = \mathbb{Z}$ así que por el F.I.T., $F$ desciende a un isomorfismo $$\tilde{F}: \mathbb{R} / \mathbb{Z} \stackrel{\cong}{\to} \text{im } F = SO(2).$$ Del mismo modo, se puede inducir un isomorfismo $\tilde{G}: \mathbb{R} / \mathbb{Z} \stackrel{\cong}{\to} U_1$ .