Prueba de que todos los grupos simples abelianos son grupos cíclicos de orden primera

Question

Sólo quería un poco de retroalimentación para asegurarse de no cometer ningún error con esta prueba. Gracias!

Desde $G$ es abelian, cada subgrupo es normal. Desde $G$ es simple, la única subgrupos de $G$$1$$G$, e $|G| > 1$, por lo $x\in G$ tenemos $x\neq 1$$\langle x\rangle\leq G$, lo $\langle x\rangle = G$. Supongamos $x$ ha infinita orden o de orden. A continuación, $\langle x^2\rangle \leq G$ pero $\langle x^2\rangle \neq \langle x \rangle$, una contradicción. Por lo $x$, y por lo tanto $G$, ha extraña orden, y por Feit-Thompson, $G\cong Z_p$ para algunos prime $p$.

Edit: Gracias, veo que Feit-Thompson es demasiado.

Desde $G$ es abelian, cada subgrupo es normal. Desde $G$ es simple, la única subgrupos de $G$$1$$G$, e $|G| > 1$, por lo $x\in G$ tenemos $x\neq 1$$\langle x\rangle\leq G$, lo $\langle x\rangle = G$. Supongamos $x$ tiene orden infinito. A continuación, $\langle x^2\rangle \leq G$ pero $\langle x^2\rangle \neq \langle x \rangle$, una contradicción. Por lo $x$, y por lo tanto $G$, tiene orden finito. Supongamos $x$ ha compuesto el fin de $n$ así $p > 1$ que divide $n$, $\langle x^p \rangle$ es una no-trivial subgrupo de $G$, lo $G$ no es simple. Por lo $G$ es un grupo cíclico de primer orden.

Answer 1

Er bien: Supongo que es simple, $G$ abeliano. Entonces cualquier $g \in G$ tiene que generar todo el asunto, es decir, tenemos $\mathbb{Z} \twoheadrightarrow G$. $\mathbb{Z}$ no es simple (considerar decir $2\mathbb{Z}$), así $G \simeq \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ $n$. Si $n$ no es privilegiada, cualquier $p \mid n$, tenemos $\langle p\rangle \subseteq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un subgrupo apropiado.

Answer 2

Sin duda usted está golpeando con fuerza a una mosca con un arma nuclear. El Feit-Thompson teorema no es fácil de probar, por decirlo suavemente. Pero es bastante fácil para probar que todos los abelian simple grupos cíclicos de los grupos de primer orden.

Supongamos que no es cíclico. No es generada por cualquiera de los elementos. Considere la posibilidad de $a\ne\mathrm{identity}$. A continuación, algunos de los $b$ no está en el subgrupo generado por a $a$. Piense acerca de los subgrupos generados por estos dos elementos y ver si usted puede encontrar un trivial subgrupo normal.

Ahora supongamos que el orden es$n=k\ell$$k,\ell>1$. Deje $a\ne\mathrm{identity}$. Piensen en el grupo generado por $a^k$ y ver si usted puede encontrar un trivial subgrupo normal.

Y el caso de la sucesión infinita no es difícil.

Answer 3

Cada subgrupo de un Grupo abeliano es normal. Por lo tanto, un Grupo abeliano simple no debe tener ningún subgrupo trivial adecuado. Además tenemos en cuenta que ningún subgrupo trivial adecuado implica cíclica de primer orden.