Probabilidad de lograr una densidad dada de variables aleatorias IID

Question

Tengo una secuencia de variables aleatorias IID $X_1, X_2, \dots, X_n$. En este caso en particular, cada una de las variables es Lévy distribuido con PDF

$f(x) = (\lambda / 2 \pi x^3)^{-1/2} \exp(-\lambda/2x)$

para $x > 0$, e $f(x) = 0$ lo contrario.

Estoy tratando de encontrar la probabilidad de que, dadas las constantes de $\tau > 0$$b < n$, que existe un intervalo de longitud de $\tau$ que contiene, al menos, $b$ de la $n$ variables aleatorias.

Mi primer acercamiento fue el uso de estadísticas de orden; por ejemplo, si $X_{(1)}, X_{(2)}, \dots, X_{(n)}$ están a la orden de la estadística, la probabilidad de que el $b$ más baja en un intervalo de longitud de $\tau$ podría encontrarse utilizando la distribución conjunta de $X_{(1)}$$X_{(b)}$. Desde el artículo de la Wikipedia,

$f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x,y)dx\,dy=n!{[F_X(x)]^{j-1}\over(j-1)!}{[F_X(y)-F_X(x)]^{k-1-j}\over(k-1-j)!}{[1-F_X(y)]^{n-k}\over(n-k)!}f_X(x)f_X(y)\,dx\,dy$

Esto podría ser integrado a través del simplex $0 \leq x \leq y \leq x + \tau$, y el resultado puede ser repetido para cada grupo de $b$ variables aleatorias y se suman. Sin embargo, creo que este enfoque conduce a la doble contabilización (por ejemplo, $X_{(1)} \dots X_{(b)}$ $X_{(n-b+1)} \dots X_{(n)}$ podría caer en distintos intervalos de longitud de $\tau$) y también parece ser difícil de obtener en forma cerrada.

El otro enfoque que considera fue el uso de la articulación de la densidad de todas las estadísticas de orden:

$f_{X_{(1)},\ldots,X_{(n)}}(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\cdots dx_n=n!f_X(x_1)\cdots f_X(x_n)\,dx_1\cdots dx_n$

Sin embargo, no puedo determinar cómo expresar la región de integración en forma significativa. Cualquier pensamiento o punteros se agradece!

Answer 1

La inexistencia de tal intervalo es equivalente a $X_{(i+b-1)} > X_{(i)}+r$ $i=1\ldots n-b+1$. Por lo tanto la probabilidad del complemento de tu evento, integrar $n! f(x_1) \ldots f(x_n)$ sobre la región definida por $$icadas {b-1} > icadas {b-2} > \ldots > x_2 > x_1 > 0$$ y $$x_b > \max (icadas {b-1}, x_1 + r), \ldots, x_n > \max (icadas {n-1}, icadas {n-b + 1} + r).$$

Answer 2

Como se dijo antes, no hay una simple solución de forma cerrada. Pero uno puede demostrar que algunos de los límites superior e inferior, que producen un valor preciso en un semi-explícito rango de valores de $b$, $n$ y $\tau$.

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Empezamos con algunas notaciones. Para $x\le y$, llame a $g(x,y)=P(x\le X_1\le y)$ la integral de la función de densidad de $f$$X_1$$x$$y$. Para cualquier subconjunto $I$ $\{1,2,\ldots,n\}$ del tamaño de la $b$, llame a $A_I=[R_I\le\tau]$ donde $R_I$ es el rango de la muestra $(X_k)$$I$, es decir, $$A_I=[R_I\le\tau],\qquad R_I=\max\{X_k;k\in I\}-\min\{X_k;k\in I\}.$$ Utilizando el hecho de que el evento $[x\le\min\{X_k;k\in I\},\max\{X_k;k\in I\}\le y]$ probabilidad de $g(x,y)^b$, uno ve que $P(A_I)=\alpha_b$ por cada $I$ del tamaño de la $b$, con

$$\alpha_b=\int bf(x)g(x,x+\tau)^{b-1}\mathrm{d}x.$$

El evento $A$ que existe un intervalo de longitud (en la mayoría) $\tau$ que contiene (al menos) $b$ de los valores de la muestra de tamaño $n$ es $$A=\bigcup_IA_I,\quad A_I=[R_I\le\tau],$$ cuando la unión es más de los subconjuntos $I$ $\{1,2,\ldots,n\}$ del tamaño de la $b$. Por la inclusión-exclusión en el principio, $$S-S'\le P(a)\le S,\quad S=\sum_{I}P(A_I),\ S'=\sum_{I\ne J}P(A_I\cap A_J).$$ Para cada $I$ de tamaño $b$, $P(A_I)=\alpha_b$. Para cada $I\ne J$ de tamaño $b$, $A_I$ y $A_J$ son independientes si $I\cap J=\emptyset$ y positivamente correlacionada de lo contrario, por lo tanto $P(A_I\cap A_J)\ge \alpha_b^2$. Finalmente,

$${n\elegir b}\alpha_b-\frac12\left({n\elegir b}^2-{n\elegir b}\right)\alpha_b^2\le P(a)\le{n\elegir b}\alpha_b.$$

Esto lee aproximadamente como $p-\frac12p^2\le P(A)\le p$ $p=\displaystyle{n\choose b}\alpha_b$ por lo tanto, esta estimación de $P(A)$ es tan preciso como el límite superior $p$ es pequeña.