¿Es comparable a $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} n$ $\aleph_0$?

Question

Por ejemplo, podemos decir: $\infty=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} n < \aleph_0$?

Estos son dos tipos diferentes de estructuras. El límite como la longitud, extensión, o simplemente genérico magnitud y la otra es la cardinalidad de un conjunto. Podemos comparar la magnitud de cardinalidad?

Intuitivamente, podemos llegar a la $\aleph_0$ contando los números naturales en la recta numérica y en el proceso se aproxima a $\infty$. Lo que me lleva a creer $\infty\leq\aleph_0$. Pero no puedo ver por qué debe ser una desigualdad estricta. Siento que debe ser de igual magnitud.

Yo vi en un reciente comentario que $2^\infty=\infty$, pero son los infinitos realmente lo mismo? No lo parece a mí. Por supuesto que (en general) tienen que $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ donde ${\aleph_0}$ $\aleph_1$ son claramente dos muy distintos infinitos, contables vs incontable al menos. Tal vez uno podría argumentar que el concepto de magnitud se refiere, todos los infinitos son "iguales".

Answer 1

La razón por la que la respuesta sea negativa es que $$\huge\underline{\underline{\color{red}{\textbf{Cardinals are not real numbers.}}}}$$

¿A qué me refiero con eso? Para finitos cardenales podemos muy bien coincidir con los números naturales con los números ordinales, el finito cardenales, las sumas iteradas de la unidad de los números reales, o los racionales, o el de los números complejos, o lo que sea.

Pero una vez infinitary operaciones están involucrados (a través de límites o de otra manera) ya no estamos jugando con las mismas reglas.

Es cierto que $\lim_{n\to\omega}n=\aleph_0$ si tenemos en cuenta que esta secuencia como una secuencia de cardenales. Pero el uso de $\infty$ significa que usted claramente no pensar en estos como los cardenales, sino más bien como los números reales, o algo relacionado. Y estos son dos completamente distintos sistemas. El papel de la $\infty$ en el análisis es completamente diferente de la función de $\aleph_0$ como un cardenal, o $\omega$ como un ordinal.

La anterior mezcla que finito cardenales permitir es hacer entre estos sistemas es de donde todos estos errores provienen. Y usted no está solo en su elaboración. Muchas personas lo hacen, es por eso que suele escribir la línea de arriba en letras grandes, con varios subraya, cuando puedo enseñar esto a mis estudiantes. Quiero ser cómicamente rememberable a ellos, para que nunca vuelva a cometer este error.

En una nota de lado, $2^{\aleph_0}$ $\aleph_1$ dos cardenales con dos definiciones distintas. La postulación de la igualdad se conoce como la hipótesis continua, que el estándar de los axiomas de la teoría de conjuntos puede ni probar ni refutar.

Answer 2

Hay un conjunto ordenado de extender los números naturales $\mathbb{N} \cup \{ \infty \}$.

La orden de la clase de los números cardinales tiene un segmento inicial $\mathbb{N} \cup \{ \aleph_0 \}$.

Estos dos conjuntos ordenados de pasar a ser isomorfos. Este hecho es casi la totalidad de la relación entre el$\infty$$\aleph_0$.

---

Sin embargo, hay algo más a lo largo de estas líneas que pueden ser interesantes. Si se considera el hyperreal números no estándar de análisis, el hyperreals contienen una gran cantidad de números infinitos $H$. Sin embargo, cada hyperreal (incluyendo el infinito) satisface $-\infty < H < \infty$.

Answer 3

Para resumir la información que he recibido de las respuestas existentes y la discusión en los comentarios:

• Los cardenales y los números reales no son comparables con la norma de las relaciones de los números reales, ni aquellos para los cardenales (por ejemplo, la costumbre $=$, $<$, etc., $<$ para los números reales no es el mismo $<$ como para los cardenales, etc.).
• $\infty$ no es un cardenal de uno y otro, así que no es comparable a los cardenales
• Podría definir cualquier relación arbitraria que desean entre $\aleph_0$ $\infty$ y sería de ninguna consecuencia a las matemáticas.

===

Ahora, ¿qué tal el siguiente:

Deje $\infty$ representan la longitud de la línea real. Tenemos que $1=\mu\left([n,n+1]\right)$ de la longitud de cada segmento entre números enteros consecutivos para $\mu$ de la longitud estándar de medida.

Por lo tanto la longitud de la línea real es de $\infty=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb Z}1$.

Ya que hay exactamente $\aleph_0$ unidad de longitud de los intervalos de números enteros consecutivos (y exactamente $\aleph_0$ intervalos consecutivos de cualquier longitud finita, por supuesto), entonces para obtener la longitud de la línea real, solo contamos con estos de la unidad de los intervalos, por lo tanto la longitud de la línea real sería $\aleph_0$ si vamos a permitir $\aleph_0$ a representar una magnitud espacial.

Así que la única razonable/comparación natural sería $\infty=\aleph_0$ si uno tuviera que hacer una comparación. NOTA: El $=$ utiliza aquí no es el signo igual se utiliza para mostrar la identidad de los números reales! Tampoco es el signo igual se utiliza para equiparar los cardenales!