No ZFC la teoría de conjuntos y la hyperreals: problema resuelto?

Question

Los reales son el completo único ordenado de campo. El hyperreals $\mathbb{R}^*$ no son los únicos que en ZFC, y muchas personas parecen pensar que esto fue una seria objeción a ellos. Abraham Robinson respondió que esto era debido a que ZFC fue ajustado para garantizar la unicidad de los reales. Ehrlich escribió un largo ensayo en 2012 (ref y el enlace de abajo), el cual solo he desnatada hasta ahora. Es principalmente acerca de la surreals $\textbf{No}$, no el hyperreals, pero parece sugerir que Robinson idea se ha llevado adelante con éxito por personas como Keisler y Ehrlich. Al parecer, la teoría de conjuntos NBG tiene algunas propiedades que se adaptan mejor a este tipo de cosas que los de ZFC.

La sección 9 de la Ehrlich trabajo se analiza la relación entre el $\mathbb{R}^*$ $\textbf{No}$ dentro de NBG. Presenta Keisler los axiomas de la hyperreals, que básicamente dicen que son una extensión adecuada de los reales, la transferencia de principio sostiene, y están saturados. Al final de la sección, afirma un teorema: "En NBG hay ... una única estructura $\langle\mathbb{R},\mathbb{R}^*,*\rangle$ tal que [Keisler del axiomas] se cumplen y que $\mathbb{R}^\*$ es una clase adecuada; por otra parte, en este tipo de estructura $\mathbb{R}^*$ es isomorfo a $\textbf{No}$."

Mi pregunta es: ¿este resultado indican que Robinson programa se ha completado con éxito y de una manera que satisfaga a los matemáticos en general, que los nonuniqueness de la hyperreals no es un argumento en contra de la NSA? A mí me parece que esto dependerá del consenso acerca de NBG: si NBG se espera que sea coherente; si es una manera natural de hacer la teoría de conjuntos, con la debida clases; y si el resultado como Ehrlich del teorema es probable que sea cierto para cualquier teoría de conjuntos, con la debida clases, o si dichos resultados son propensos a ser cierto sólo porque de algunas de las propiedades específicas de NBG (en cuyo caso el nonuniqueness sólo ha sido hecha en un nuevo tipo de nonuniqueness). Ya sé casi nada acerca de NBG, no sé las respuestas a estas preguntas.

Una cosa que me confunde es que yo pensaba que el surreals carecía de la transferencia de principio, de modo que, por ejemplo, donde el hyperreals heredan automáticamente el $\mathbb{Z}^*$ $\mathbb{Z}$ como un conjunto interno, un esfuerzo para definir la omnific enteros $\textbf{Oz}$ como una subclase de $\textbf{No}$, e $\textbf{Oz}$ no necesariamente tienen las mismas propiedades como $\mathbb{Z}$ con respecto a, por ejemplo, la inducción y la factorización en primos (ver http://mathoverflow.net/questions/72691/can-we-axiomatize-omnific-integers-without-the-surreal-number-system ). Sería la idea de ser que, según Ehrlich del resultado, $\mathbb{Z}^*$ (isomorfo a) una subclase de $\textbf{Oz}$?

Yo no estaba seguro de si publicar esto en mathoverflow o matemáticas.SÍ, ya es una cuestión sobre la investigación actual, pero yo no soy competente de investigación como a nivel matemático. Originalmente publicado allí: http://mathoverflow.net/questions/88292/non-zfc-set-theory-and-nonuniqueness-of-the-hyperreals-problem-solved . La retroalimentación no se indica probablemente debería mover de aquí, así que lo hice.

[EDITAR] Los siguientes comentarios por François G. Dorais en mathoverflow pueden ser útiles:

Desde cuando es la no unicidad de la hyperreals una objeción a no-estándar de análisis? En cualquier caso, NBG es equiconsistent con ZFC. En de hecho, es un conservador extensión de ZFC. No hay ningún problema en usar NBG en lugar de ZFC, el de ida y vuelta de transferencia de resultados es en su mayoría de rutina.

Ehrlich no da una demostración del Teorema 20. Sin embargo, desde el contexto, la la situación parece ser similar a la de los llamados monstruo modelos en modelo de la teoría. Estos son, quizás, mejor pensado como una adecuada clases, pero por razones técnicas se definen generalmente como suficientemente gran saturado de modelos. El mismo truco se deben aplicar a Ehrlich de la modelo, de modo que todo lo que se puede probar usando esta buena clase hyperreals también puede ser demostrado en ZFC el uso de una lo suficientemente grande saturado modelo. Por supuesto, Ehrlich del modelo es sin duda estéticamente y filosóficamente más agradable para trabajar.

Felipe Ehrlich (2012). "El absoluto de la aritmética y la continuidad de la unificación de todos los números grandes y pequeños". El Boletín de la Lógica Simbólica 18 (1): 1-45, http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/1801-toc.htm

Answer 1

La utilidad de la hyperreals $\mathbb{R}^*$ proviene de herramientas tales como la saturación y la transferencia de principio. Estas herramientas están disponibles en otros superfields R de R sólo en la medida en que uno puede construir morfismos entre el hyperreals y tal R'. Incluso si algunos límite ultrapower modelo de $\mathbb R^*$ es máxima y única en algún sentido débil, esto no afecta realmente a sus aplicaciones, puede que se basan en el modelo más simple de la hyperreals, es decir, $\mathbb R^{\mathbb N}$ modulo de un ultrafilter en $\mathbb N$. En última instancia, la relación con otros superfields de $\mathbb{R}$ tiene poco que ver si "Robinson programa se ha completado con éxito" como usted dice.