$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continuo, local 1-1 implica $f$ global 1 - 1

Question

Supongo que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua y local 1-1. Quiero mostrar a nivel mundial es 1-1 (sin asumir la existencia de $f'$).

El teorema del valor intermedio implica que $f$ localmente estrictamente monotónica. Intuitivamente, me gustaría mostrar eso si $f(a)=f(b)$, entonces en algún lugar entre $a$y $b$, $\,f$ debemos "interruptor de direcciones", pero no han tenido ninguna tracción con esta estrategia.

¿Alguna idea?

Answer 1

Podría probar la declaración que una función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es inyectiva si y sólo si no tiene extremos locales. (Si usted está atascado, es discutido aquí.)

Suponiendo que la afirmación es verdadera, entonces el resultado es fácil. De hecho, si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua pero no es inyectiva, entonces $f$ tiene extremos locales en algunos $x_0$, y sigue (mostrar) esto $f$ no es localmente inyectiva en $x_0$.

Edit: no me di cuenta de los comentarios antes de publicar esto. La solución es similar pero más al punto.